Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A（0，4），B（m，0）在坐標軸上，點C，O關于直線AB對稱，點D在線段AB上．

（1）如圖1，若m＝8，求AB的長；

（2）如圖2，若m＝4，連接OD，在y軸上取一點E，使OD＝DE，求證：CE＝DE；

（3）如圖3，若m＝4，在射線AO上裁取AF，使AF＝BD，當CD+CF的值最小時，請在圖中畫出點D的位置，并直接寫出這個最小值．

Answer 1

【答案】（1）AB＝4；（2）見解析；（3）CD+CF的最小值為4.

【解析】

（1）根據勾股定理可求AB的長；

（2）過點D作DF⊥AO，根據等腰三角形的性質可得OF＝EF，根據軸對稱的性質等腰直角三角形的性質可得AF＝DF，設OF＝EF＝x，AE＝4﹣2x，根據勾股定理用參數x表示

DE，CE的長，即可證CE＝DE；

（3）過點B作BM⊥OB，在BM上截取BM＝AO，過點C作CN⊥BM，交MB的延長線于點N，根據銳角三角函數可得∠ABO＝30°，根據軸對稱的性質可得AC＝AO＝4，BO＝BC＝4，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠OAB＝∠CAB＝60°，根據“SAS”可證△ACF≌△BMD，可得CF＝DM，則當點D在CM上時，CF+CD的值最小，根據直角三角形的性質可求CN，BN的長，根據勾股定理可求CM的長，即可得CF+CD的最小值．

（1）∵點A（0，4），B（m，0），且m＝8，

∴AO＝4，BO＝8，

在Rt△ABO中，AB＝

（2）如圖，過點D作DF⊥AO，

∵DE＝DO，DF⊥AO，

∴EF＝FO，

∵m＝4，

∴AO＝BO＝4，

∴∠ABO＝∠OAB＝45°，

∵點C，O關于直線AB對稱，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，AO＝AC＝OB＝BC＝4，

∴∠CAO＝∠CBO＝90°，

∵DF⊥AO，∠BAO＝45°，

∴∠DAF＝∠ADF＝45°，

∴AF＝DF，

設OF＝EF＝x，AE＝4﹣2x，

∴AF＝DF＝4﹣x，

在Rt△DEF中，DE＝

在Rt△ACE中，CE＝

∴CE＝DE，

（3）如圖，過點B作BM⊥OB，在BM上截取BM＝AO，過點C作CN⊥BM，交MB的延長線于點N，

∵m＝4，

∴OB＝4，

∴tan∠ABO＝，

∴∠ABO＝30°

∵點C，O關于直線AB對稱，

∴AC＝AO＝4，BO＝BC＝4，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠OAB＝∠CAB＝60°，

∴∠CAF＝120°，∠CBO＝60°

∵BM⊥OB，∠ABO＝30°，

∴∠ABM＝120°，

∴∠CAF＝∠ABM，且DB＝AF，BM＝AO＝AC＝4，

∴△ACF≌△BMD（SAS）

∴CF＝DM，

∵CF+CD＝CD+DM，

∴當點D在CM上時，CF+CD的值最小，

即CF+CD的最小值為CM的長，

∵∠CBO＝60°，BM⊥OB，

∴∠CBN＝30°，且BM⊥OB，BC＝4，

∴CN＝2，BN＝CN＝6，

∴MN＝BM+BN＝4+6＝10，

在Rt△CMN中，CM＝，

∴CD+CF的最小值為.