Question

【題目】已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．點Q是線段AC上的一個動點，過點Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長線（如圖2）于點P．
（1）當點P在線段AB上時，求證：△AQP∽△ABC；
（2）當△PQB為等腰三角形時，求AP的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PQ⊥AQ，

∴∠AQP=90°=∠ABC，

在△APQ與△ABC中，

∵∠AQP=90°=∠ABC，∠A=∠A，

∴△AQP∽△ABC

（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．

∵∠QPB為鈍角，

∴當△PQB為等腰三角形時，

（i）當點P在線段AB上時，如題圖1所示．

∵∠QPB為鈍角，

∴當△PQB為等腰三角形時，只可能是PB=PQ，

由（1）可知，△AQP∽△ABC，

∴ ，即 ，解得：PB= ，

∴AP=AB﹣PB=3﹣ = ；

（ii）當點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示．

∵∠QBP為鈍角，

∴當△PQB為等腰三角形時，只可能是PB=BQ．

∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，

∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，

∴∠AQB=∠A，

∴BQ=AB，

∴AB=BP，點B為線段AP中點，

∴AP=2AB=2×3=6．

綜上所述，當△PQB為等腰三角形時，AP的長為 或6

【解析】（1）由兩對角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），證明△AQP∽△ABC；（2）當△PQB為等腰三角形時，有兩種情況，需要分類討論．（i）當點P在線段AB上時，如題圖1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）關系計算AP的長；（ii）當點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示．利用角之間的關系，證明點B為線段AP的中點，從而可以求出AP．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質和直角三角形斜邊上的中線的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半才能正確解答此題．