Question

【題目】已知AB為⊙O的直徑，BC⊥AB于B，且BC=AB，D為半圓⊙O上的一點，連接BD并延長交半圓⊙O的切線AE于E．

（1）如圖1，若CD=CB，求證：CD是⊙O的切線；

（2）如圖2，若F點在OB上，且CD⊥DF，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2） =1.

【解析】

試題分析：（1）連接DO，CO，易證△CDO≌△CBO，即可解題；（2）連接AD，易證△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA，根據相似三角形對應邊比例相等的性質即可解題．

試題解析：（1）連接DO，CO，

∵BC⊥AB于B，∴∠ABC=90°，

在△CDO與△CBO中，，

∴△CDO≌△CBO，∴∠CDO=∠CBO=90°，∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）連接AD，

∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ADF+∠BDF=90°，∠DAB+∠DBA=90°，

∵∠BDF+∠BDC=90°，∠CBD+∠DBA=90°，∴∠ADF=∠BDC，∠DAB=∠CBD，

∵在△ADF和△BDC中，，∴△ADF∽△BDC，

∴，∵∠DAE+∠DAB=90°，∠E+∠DAE=90°，∴∠E=∠DAB，

∵在△ADE和△BDA中，，∴△ADE∽△BDA，

∴，∴，即=，

∵AB=BC，∴=1．