Question

【題目】如圖1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，點B、C、G在同一條直線上，M是線段AE的中點，DM的延長線交EF于點N，連接FM，易證：DM=FM，DM⊥FM（無需寫證明過程）

（1）如圖2，當點B、C、F在同一條直線上，DM的延長線交EG于點N，其余條件不變，試探究線段DM與FM有怎樣的關系？請寫出猜想，并給予證明；

（2）如圖3，當點E、B、C在同一條直線上，DM的延長線交CE的延長線于點N，其余條件不變，探究線段DM與FM有怎樣的關系？請直接寫出猜想．

Answer 1

【答案】（1）DM=FM，DM⊥FM，證明見試題解析；（2）DM=FM，DM⊥FM．

【解析】

試題分析：（1）連接DF，NF，由正方形的性質，得到AD∥BC，BC∥GE，于是有AD∥GE，得到∠DAM=∠NEM，即可證得△MAD≌△MEN，得出DM=MN，AD=EN，推出△MAD≌△MEN，△DFN是等腰直角三角形，即可得到結論；

（2）連接DF，NF，由正方形的性質，得到AD∥BC，AD∥CN，進而得到∠DAM=∠NEM，可證△MAD≌△MEN，有DM=MN，AD=EN，推出△MAD≌△MEN，△DFN是等腰直角三角形，于是可得到結論．

試題解析：（1）如圖2，DM=FM，DM⊥FM．證明如下：

連接DF，NF，∵四邊形ABCD和CGEF是正方形，∴AD∥BC，BC∥GE，∴AD∥GE，∴∠DAM=∠NEM，∵M是AE的中點，∴AM=EM，在△MAD與△MEN中，∵∠AMD=∠EMN，AM=EM，∠DAM=∠NEM，∴△MAD≌△MEN，∴DM=MN，AD=EN，∵AD=CD，∴CD=NE，∵CF=EF，∠DCF=∠DCB=90°，在△DCF與△NEF中，∵CD=EN，∠DCF=∠NEF=90°，CF=EF，∴△MAD≌△MEN，∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，∵∠EFN+∠NFC=90°，∴∠DFC+∠CFN=90°，∴∠DFN=90°，∴DM⊥FM，DM=FM；

（2）猜想：DM⊥FM，DM=FM．

證明如下：如圖3，連接DF，NF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∵點E、B、C在同一條直線上，∴AD∥CN，∴∠ADN=∠MNE，在△MAD與△MEN中，∵∠AMD=∠EMN，AM=EM，∠DAM=∠NEM，∴△MAD≌△MEN，∴DM=MN，AD=EN，∵AD=CD，∴CD=NE，∵CF=EF，∵∠DCF=90°+45°=135°，∠NEF=180°﹣45°=135°，∴∠DCF=∠NEF，在△DCF與△NEF中，∵CD=NE，∠DCF=∠NEF=135°，CF=EF，∴△MAD≌△MEN，∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，∵∠CFD+∠EFD=90°，∴∠NFE+∠EFD=90°，∴∠DFN=90°，∴DM⊥FM，DM=FM．