Question

【題目】如圖所示，△ABC為等邊三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，則四個結論①點P在∠A的平分線上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中正確的是（　 　）

A. ①② B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

因為△ABC為等邊三角形，根據已知條件可推出Rt△ARP≌Rt△ASP，則AR=AS，故（2）正確，∠BAP=∠CAP，所以AP是等邊三角形的頂角的平分線，故（1）正確，根據等腰三角形的三線合一的性質知，AP也是BC邊上的高和中線，即點P是BC的中點，因為AQ=PQ，所以點Q是AC的中點，所以PQ是邊AB對的中位線，有PQ∥AB，故（3）正確，又可推出△BRP≌△QSP，故（4）正確．

∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
∴∠ARP=∠ASP=90°，
∵PR=PS，AP=AP，
∴Rt△ARP≌Rt△ASP，
∴AR=AS，故（2）正確，∠BAP=∠CAP，
∴AP是等邊三角形的頂角的平分線，故（1）正確;
∴AP是BC邊上的高和中線，即點P是BC的中點,
∵AQ=PQ,
∴點Q是AC的中點,
∴PQ是邊AB對的中位線,
∴PQ∥AB，故（3）正確;
∵∠B=∠C=60°，∠BRP=∠CSP=90°，BP=CP,
∴△BRP≌△QSP，故（4）正確,
∴全部正確．
故選：D．