Question

【題目】（10分）問題：如圖（1），在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE=45°，試探究AD、DE、EB滿足的等量關系．

[探究發現]

小聰同學利用圖形變換，將△CAD繞點C逆時針旋轉90°得到△CBH，連接EH，由已知條件易得∠EBH=90°，∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°．根據“邊角邊”，可證△CEH≌ ，得EH=ED．

在Rt△HBE中，由 定理，可得BH2+EB2=EH2，由BH=AD，可得AD、DE、EB之間的等量關系是 ．

[實踐運用]

（1）如圖（2），在正方形ABCD中，△AEF的頂點E、F分別在BC、CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求∠EAF的度數；

（2）在（1）條件下，連接BD，分別交AE、AF于點M、N，若BE=2，DF=3，BM=2，運用小聰同學探究的結論，求正方形的邊長及MN的長.

Answer 1

【答案】△CDE；勾股；；45°；MN=．

【解析】

試題（1）由正方形的性質和全等三角形的判定方法可證明Rt△ABE≌Rt△AGE和Rt△ADF≌Rt△AGF，由全等三角形的性質即可求出∠EAF的度數；

（2）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，設AG=x，則CE=x﹣2，CF=x﹣3．因為，得到．解這個方程，求出x的值即可得到AG=6，在（2）中，MN2=MB2+ND2，MN=a，，求出a的值．即可求出MN的長．

試題解析：根據“邊角邊”，可證△CEH≌△CDE，得EH=ED，在Rt△HBE中，由勾股定理，可得，由BH=AD，可得AD、DE、EB之間的等量關系是；故答案為：△CDE；勾股；；

（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，∵AB=AG，AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴∠BAE=∠GAE，同理，Rt△ADF≌Rt△AGF，∴∠GAF=∠DAF，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠EAF=∠BAD=45°；

（2）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，∴BE=EG=2，DF=FG=3，則EF=5，設AG=x，則CE=x﹣2，CF=x﹣3，∵，∴，解這個方程，得x=6或x=﹣1（舍去），∴AG=6，∴BD===，∴AB=6，∵，設MN=a，則，所以a=，即MN=．