Question

如圖，已知：⊙O₁與⊙O₂外切于點O，以直線O₁O₂為x軸，點O為坐標原點，建立直角坐標系，直線AB切⊙O₁于點B，切⊙O₂于點A，交y軸于點C（0，2），交x軸于點M．BO的延長線交⊙O₂于點D，且OB：OD=1：3．
（1）求⊙O₂半徑的長；
（2）求線段AB的解析式；
（3）在直線AB上是否存在點P，使△MO₂P與△MOB相似？若存在，求出點P的坐標與此時k=的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）連接BO₁，O₂A作O₁N⊥O₂A于N，連接OA，
∵直線AB切⊙O₁于點B，切⊙O₂于點A，交y軸于點C（0，2），
∴CA=CB，CA=CO（切線長定理），
∴CA=CB=CO，
∴AB=2OC=4，
設O₁B為r，由O₁O₂²-O₂N²=O₁N²得（4r）²-（2r）²=4²，
解得，3r=2，
答：⊙O₂的半徑的長為．

（2）∵O₂N=3r-r=2r，O₁O₂=r+3r=4r，
∴∠NO₁O₂=30°，
∴∠CMO=∠NO₁O₂=30°，
∵OM==2，
M（-2，0），
設線段AB的解析式是y=kx+b，
把C、M的坐標代入得：，
解得：k=，b=2，
∴線段AB的解析式為y=x+2（-≤x≤）；

（3）△MOB是頂角為120°的等腰三角形，其底邊的長為2，
假設滿足條件的點P存在，
①∠MO₂P=30°，
過B作BQ⊥OM于Q，
∵OB=MB，
∴MQ=OQ=，
∵∠BMO=30°，
∴BQ=1，BM=2，
過P'作P'W⊥X軸于W，
∴P'W∥BQ，
∴==，
∴P'W=2，
即P'與C重合，
P'（0，2），
∴k==4；
②∠MO₂P=120°，
過P作PZ⊥X軸于Z，
PO₂=O₂M=4，∠PO₂Z=60°，
∴O₂Z=2，
由勾股定理得：PZ=6，
∴P（4，6），
∴k==12，
答在直線AB上存在點P，使△MO₂P與△MOB相似，點P的坐標是（0，2）或（4，6），k的值是4或12．
分析：（1）連接BO₁，DO₂，O₂A作O₁N⊥O₂A于N，連接OA，根據切線長定理求出AB的長，設O₁B為r，根據勾股定理得到方程（4r）²-（2r）²=4²，求出方程的解即可；
（2）求出∠CMO=∠NO₁O₂=30°，求出OM，設AB的解析式是y=kx+b，把C、M的坐標代入得到方程組，求出方程組的解即可；
（3）①∠MO₂P=30°，過B作BQ⊥OM于Q，求出MQ，BQ，過P'作P'W⊥X軸于W，根據相似三角形的性質求出PW即可得到P的坐標，根據相似三角形的性質求出k即可；②∠MO₂P=120°，過P作PZ⊥X軸于Z，根據含30度角的直角三角形性質求出PZ，即可得到P的坐標，根據相似三角形的性質求出k即可．
點評：本題主要考查對相似三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形，勾股定理，銳角三角函數的定義，解一元一次方程等知識點的連接和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．