Question

【題目】在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，動點M以每秒1個單位的速度從點A出發運動到點B，點N以相同的速度從點B出發運動到點C，兩點同時出發，過點M作MP⊥AB交直線CD于點P，連接NM、NP，設運動時間為t秒．

（1）當t=2時，∠NMP=度；
（2）求t為何值時，以A、M、C、P為頂點的四邊形是平行四邊形；
（3）當△NPC為直角三角形時，求此時t的值．

Answer 1

【答案】
（1）30
（2）解：若點P在線段CD上時，過A作AE⊥CD于E，

在菱形ABCD中，AB∥CD，∠D=60°，AB=AD=CD=BC=4

∴DE= AD=2，AE=2 ，

∴AM=t，PC=2﹣t

要使四邊形AMCP為平行四邊形，則AM=PC

∴t=2﹣t得t=1．

若點P在線段DC延長線上時，四邊形AMCP不是平行四邊形．

（3）解：若點P在線段CD上時，不存在Rt△NPC，

∴只有當P在線段DC延長線上時，才存在Rt△NPC，

如圖3中，當∠NPC=90°時，則M、N、P在同一直線上，

∴∠CNP=∠MNB=30°，

∴BM= BN，即4﹣t= t，

解得，t= ．

如圖4中，當∠PNC=90°時，

易知BG=2（4﹣t），MG= （4﹣t），

GN=t﹣2（4﹣t）=3t﹣8，GP=NG÷cos30°= （3t﹣8），

∵PM=2 ，

∴MG+GP=2 ，

∴ （4﹣t）+ （3t﹣8）=2 ，

解得t=10，不合題意，

綜上所述，t= s時，△PNC是直角三角形．

【解析】解：（1）如圖1中，連接AC．

∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，

∴AB=BC=CD=AD，

∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，

∵t=2時，AM=BM=2，BN=CN=2，

∵PM⊥AB，

∴PA=PB，

∴P與C重合，

∵MN∥AC，

∴∠NMP=∠ACM= ∠ACB=30°．
（2）若點P在線段CD上時，過A作AE⊥CD于E，

在菱形ABCD中，AB∥CD，∠D=60°，AB=AD=CD=BC=4

∴DE= AD=2，AE=2 ，

∴AM=t，PC=2﹣t

要使四邊形AMCP為平行四邊形，則AM=PC

∴t=2﹣t得t=1．

若點P在線段DC延長線上時，四邊形AMCP不是平行四邊形．
（3）若點P在線段CD上時，不存在Rt△NPC，

∴只有當P在線段DC延長線上時，才存在Rt△NPC，

如圖3中，當∠NPC=90°時，則M、N、P在同一直線上，

∴∠CNP=∠MNB=30°，

∴BM= BN，即4﹣t= t，

解得，t= ．

如圖4中，當∠PNC=90°時，

易知BG=2（4﹣t），MG= （4﹣t），

GN=t﹣2（4﹣t）=3t﹣8，GP=NG÷cos30°= （3t﹣8），

∵PM=2 ，

∴MG+GP=2 ，

∴ （4﹣t）+ （3t﹣8）=2 ，

解得t=10，不合題意，

綜上所述，t= s時，△PNC是直角三角形．

所以答案是：（1）30；（2）t=1；（3）t=.

【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的性質，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分即可以解答此題．