Question

【題目】已知：在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠BAC的平分線AD交BC于D，BE⊥AD于E．

（1）如圖l，求證：AC﹣AB＝2BE．

（2）如圖2，將∠DCA沿直線AC翻折，交BA的延長線于點M，連接MD交AC于點N；MA＝BA，BE＝1，AB＝，求AN的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)2-.

【解析】

（1）延長BE交AC于F．由AD平分∠BAC得∠1＝∠2，再由BE⊥AD及公共邊AE可證△AEB≌△AEF，由全等的性質可知AB＝AF，∠3＝∠4，BE＝FE，則BF＝2BE；由三角形外角和可知∠4＝∠5+∠C，則∠ABC＝∠3+∠5=∠4+∠5=2∠5+∠C，再由∠ABC＝3∠C可知∠5＝∠C，則CF＝BF＝2BE，據此即可證明；

（2）作AH⊥BC于H，AK⊥CM于K，易證△AHB≌△AKM，據此可證明△BCA≌△MCA，可得∠CAB＝∠CAM＝；再由勾股定理計算可得AE=BE=1，由題干條件及上問證明可得AB=AD，從而得到MD⊥BC，進而得到∠NCD＝∠BMD；再通過△AEB是直角等腰三角形可證明△MDC也是直角等腰三角形，可證明△MBD≌△CND，則可通過計算AC和CN的長度，通過AN＝AC﹣CN進行計算.

解：（1）延長BE交AC于F．

∵AD平分∠BAC，

∴∠1＝∠2．

∵BE⊥AD，

∴∠AEB＝AEF＝90°．

∵∠1＝∠2，∠AEB＝AEF＝90°，AE=AE，

∴△AEB≌△AEF（ASA）

∴AB＝AF，∠3＝∠4，BE＝FE，

∴BF＝2BE．

∵∠4＝∠5+∠C，

∴∠3＝∠5+∠C，

∵∠ABC＝∠3+∠5，

∴∠ABC＝∠5+∠C+∠5＝2∠5+∠C＝3∠C，

∴∠5＝∠C，

∴CF＝BF＝2BE．

∵AC﹣AF＝FC，

∴AC﹣AB＝2BE；

（2）作AH⊥BC于H，AK⊥CM于K，

∵∠ACH＝∠ACK，

∴AH＝AK，

∵AB＝AM，

∴△AHB≌△AKM，

∴∠ABH＝∠AMK，

∴CB＝CM，

∵AC＝AC，CB＝CM，AB＝AM，

∴△BCA≌△MCA，

∴∠CAB＝∠CAM＝，

∵BE⊥AD，

∴∠AEB＝90°．

∵BE＝1，AB＝，由勾股定理，得

∴AE＝1，

∴AE＝BE，

∴∠BAE=∠ABE

由上問證明可知，∠BAN=∠CAD，∠EBD=∠ACB，

∴∠ABD=∠ABE+∠EBD,∠ADB=∠CAD+∠ACB，

∴∠ABD=∠ADB,

∴AB=AD，

∵AM＝AB，

∴AD＝AB＝AM，

∴△DBM是直角三角形，

∴∠BDM＝∠CDM＝90°．

∵∠MBD+∠NCD＝90°，∠MBD+∠BMD=90°，

∴∠NCD＝∠BMD，

∵BE⊥AD，AE＝BE，

∴∠BAE＝∠ABE＝45°．

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC＝2∠BAD＝90°，

∴∠ABC+∠ACB＝90°．

∵∠ABC＝3∠ACB，

∴∠ACB＝22.5°，

∴∠BCM＝45°，

∴∠DMC＝45°，

∴∠BCM＝∠DMC，

∴DM＝DC．

∵∠BDM=∠CDM=90°，DM=DC，∠BMD＝∠NCD，

∴△MBD≌△CND（ASA），

∴CN＝BM＝2AB＝2，

∴AC＝2BE+AB＝2+，

∴AN＝AC﹣CN＝2﹣．