Question

如圖，等邊三角形ABC，邊長為2，AD是BC邊上的高．
（1）在△ABC內部作一個矩形EFGH（如圖1），其中E、H分別在邊AB、AC上，FG在邊BC上．
①設矩形的一邊FG=x，那么EF=

 

．（用含有x的代數式表示）
②設矩形的面積為y，當x取何值時，y的值最大，最大值是多少？
（2）在圖2中，只用圓規畫出點E，使得上述矩形EFGH面積最大．寫出畫法，并保留作圖痕跡．

Answer 1

分析：（1）①FG=x，那么FD=

x

2

，易得BD=1，那么BF=1-

x

2

，∵∠B=60°，∠EFB=90°，∴EF=

3

-

3

2

x．
②面積=長×寬，那么就可以表示為關于x的二次函數，得出最值即可．
（2）由②得，FG=1時矩形面積最大，此時，BF=0.5，那么BE=1，那么以B為圓心，BD為半徑畫弧交AB于點E即可．

解答：解：（1）①

3

-

3

2

x．（2分）
②y=FG•EF=x(

3

-

3

2

x)=-

3

2

x2+

3

x（6分）
=-

3

2

(x-1)2+

3

2

．（7分）
當x=1時，y有最大值，且最大值為

3

2

．（8分）

（2）畫法：以B為圓心，BD長為半徑畫弧，交AB于點E，則點E即為所求（10分）
畫圖正確（12分）

點評：解決本題的關鍵是根據等邊三角形三線合一性質及特殊的三角函數求得矩形另一邊長．