Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于A（﹣2，0），B（4，0），與y軸相交于點C，且拋物線經過點（2，2）．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上找一點H，使AH+CH最小，并求出點H的坐標；

（3）在第四象限內，拋物線上是否存在點M，是的以點A、B、M為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+x+2；

（2）H（1，）；

（3）不存在，理由見解析．

【解析】

試題分析：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），（2，2）代入拋物線解析式列方程組解決問題．

（2）如圖1，連接BC交對稱軸于點H，由對稱軸的性質和兩點之間線段最短的性質可得：此時AH+CH=BH+CH=BC最小，利用待定系數法求出直線BC解析式，與拋物線對稱軸聯立求出H坐標即可；

（3）在第四象限內，拋物線上存在點M，使得以點A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似，分兩種情況考慮：（i）當△ACB∽△ABM時；（ii）當△ACB∽△MBA時，利用相似三角形的判定與性質，確定出m的值即可．

試題解析：（1）A（﹣2，0），B（4，0），（2，2）代入拋物線解析式

得解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+2．

（2）如圖1，連接BC交對稱軸于點H，

由對稱軸的性質和兩點之間線段最短的性質可得：此時AH+CH=BH+CH=BC最小，

設直線BC的解析式為y=kx+b，把B與C坐標代入得：

，解得：，∴直線BC解析式為y=﹣x+2，

令x=1，得到y=，即H（1，）；

（3）不存在．

分兩種情況考慮：（i）不妨設△ACB∽△ABM時，如圖2中，

則有∠CAB=∠MAB=45°，∴直線AM為y=﹣x﹣2，由解得或，

∴點M坐標（8，﹣10），此時AM=10，∵=， ==，∴，

∴△ABC與△AMB不相似．

（ii）不妨設△ACB∽△MBA時，如圖3中，

則∠ABC=∠MAB，∴BC∥AM，∵直線BC解析式為y=﹣x+2，∴直線AM解析式為y=﹣x﹣1，

由解得或，∴AM=4，∵==， ，∴

，△ACB與△MBA不相似．

綜上所述，在第四象限內，拋物線上不存在點M，使得以點A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似．