Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，BC=2AB，對角線相交于O，過C點作CE⊥BD交BD于E點，H為BC中點，連接AH交BD于G點，交EC的延長線于F點，下列5個結論：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S△GAD=S四邊形GHCE，⑤CF=BD．正確的有（　　）個．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據BC=2AB，H為BC中點，可得△ABH為等腰直角三角形，HE=BH=HC，可得△CEH為等腰三角形，又∠BCD=90°，CE⊥BD，利用互余關系得出角的相等關系，根據基本圖形判斷全等三角形，特殊三角形進行判斷．

解：①在△BCE中，∵CE⊥BD，H為BC中點，

∴BC=2EH，又BC=2AB，

∴EH=AB，①正確；

②由①可知，BH=HE∴∠EBH=∠BEH，

又∠ABG+∠EBH=∠BEH+∠HEC=90°，

∴∠ABG=∠HEC，②正確；

③由AB=BH，∠ABH=90°，得∠BAG=45°，

同理：∠DHC=45°，∴∠EHC＞∠DHC=45°，

∴△ABG≌△HEC，③錯誤；

④作AM⊥BD，則AM=CE，△AMD≌△CEB，

∵AD∥BC，

∴△ADG∽△HGB，

∴=2，

即△ABG的面積等于△BGH的面積的2倍，

根據已知不能推出△AMG的面積等于△ABG的面積的一半，

即S△GAD≠S四邊形GHCE，

∴④錯誤

⑤∠ECH=∠CHF+∠F=45°+∠F，

又∠ECH=∠CDE=∠BAO，∠BAO=∠BAH+∠HAC，

∴∠F=∠HAC，

∴CF=BD，⑤正確．

正確的有3個．

故選C．