Question

【題目】探究題
（1）【證法回顧】
證明：三角形中位線定理．
已知：如圖1，DE是△ABC的中位線．
求證：DE∥BC，DE= BC．
證明：添加輔助線：如圖1，在△ABC中，延長DE （D、E分別是AB、AC的中點）到點F，使得EF=DE，連接CF；請繼續完成證明過程：

（2）【問題解決】
如圖2，在正方形ABCD中，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若AG=2，DF=3，∠GEF=90°，求GF的長．
（3）【拓展研究】如圖3，在四邊形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若AG=3 ，DF=2，∠GEF=90°，求GF的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖，延長DE 到點F，使得EF=DE，連接CF

在△ADE和△CFE中， ，

∴△ADE≌△CFE（SAS），

∴∠A=∠ECF，AD=CF，

∴CF∥AB，

又∵AD=BD，

∴CF=BD，

∴四邊形BCFD是平行四邊形，

∴DE∥BC，DE= BC．

故答案為：DE∥BC，DE= BC

（2）

如圖2，延長GE、FD交于點H，

∵E為AD中點，

∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，

在△AEG和△DEH中，

∴△AEG≌△DEH（ASA），

∴AG=HD=2，EG=EH，

∵∠GEF=90°，

∴EF垂直平分GH，

∴GF=HF=DH+DF=2+3=5；

（3）

如圖3，過點D作AB的平行線交GE的延長線于點H，過H作CD的垂線，垂足為P，連接HF，

同（1）可知△AEG≌△DEH，GF=HF，

∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD= ，

∵∠ADC=120°，

∴∠HDF=360°﹣105°﹣120°=135°，

∴∠HDP=45°，

∴△PDH為等腰直角三角形，

∴PD=PH=3，

∴PF=PD+DF=3+2=5，

在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=3，PF=5，

∴HF= ═

∴GF= ．

【解析】（1）利用“邊角邊”證明△ADE和△CEF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AD=CF，然后判斷出四邊形BCFD是平行四邊形，根據平行四邊形的性質可得；（2）先判斷出△AEG≌△DEH（ASA）進而判斷出EF垂直平分GH，即可得出結論；（3）先求出AG=HD= ，進而判斷出△PDH為等腰直角三角形，再用勾股定理求出HF即可得出結論．
【考點精析】本題主要考查了全等三角形的性質和三角形中位線定理的相關知識點，需要掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半才能正確解答此題．