Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2﹣ x+2（a≠0）的圖像與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，已知點A（﹣4，0）．
（1）求拋物線與直線AC的函數解析式；
（2）若點D（m，n）是拋物線在第二象限的部分上的一動點，四邊形OCDA的面積為S，求S關于m的函數關系；
（3）若點E為拋物線上任意一點，點F為x軸上任意一點，當以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出滿足條件的所有點E的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（﹣4，0）在二次函數y=ax2﹣ x+2（a≠0）的圖像上，

∴0=16a+6+2，

解得a=﹣ ，

∴拋物線的函數解析式為y=﹣ x2﹣ x+2；

∴點C的坐標為（0，2），

設直線AC的解析式為y=kx+b，則

，

解得 ，

∴直線AC的函數解析式為：

（2）解：∵點D（m，n）是拋物線在第二象限的部分上的一動點，

∴D（m，﹣ m2﹣ m+2），

過點D作DH⊥x軸于點H，

則DH=﹣ m2﹣ m+2，AH=m+4，HO=﹣m，

∵四邊形OCDA的面積=△ADH的面積+四邊形OCDH的面積，

∴S= （m+4）×（﹣ m2﹣ m+2）+ （﹣ m2﹣ m+2+2）×（﹣m），

化簡，得S=﹣m2﹣4m+4（﹣4＜m＜0）

（3）解：①若AC為平行四邊形的一邊，則C、E到AF的距離相等，

∴|yE|=|yC|=2，

∴yE=±2．

當yE=2時，解方程﹣ x2﹣ x+2=2得，

x1=0，x2=﹣3，

∴點E的坐標為（﹣3，2）；

當yE=﹣2時，解方程﹣ x2﹣ x+2=﹣2得，

x1= ，x2= ，

∴點E的坐標為（ ，﹣2）或（ ，﹣2）；

②若AC為平行四邊形的一條對角線，則CE∥AF，

∴yE=yC=2，

∴點E的坐標為（﹣3，2）．

綜上所述，滿足條件的點E的坐標為（﹣3，2）、（ ，﹣2）、（ ，﹣2）．

【解析】（1）把點A的坐標代入拋物線的解析式，就可求得拋物線的解析式，根據A，C兩點的坐標，可求得直線AC的函數解析式；（2）先過點D作DH⊥x軸于點H，運用割補法即可得到：四邊形OCDA的面積=△ADH的面積+四邊形OCDH的面積，據此列式計算化簡就可求得S關于m的函數關系；（3）由于AC確定，可分AC是平行四邊形的邊和對角線兩種情況討論，得到點E與點C的縱坐標之間的關系，然后代入拋物線的解析式，就可得到滿足條件的所有點E的坐標．
【考點精析】本題主要考查了公式法和平行四邊形的性質的相關知識點，需要掌握要用公式解方程，首先化成一般式．調整系數隨其后，使其成為最簡比．確定參數abc，計算方程判別式．判別式值與零比，有無實根便得知．有實根可套公式，沒有實根要告之；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分才能正確解答此題．