Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx+c經過點A（﹣3，0）、B（0，3）、C（1，0）三點．
（1）求拋物線的解析式和頂點D的坐標；
（2）如圖1，將拋物線的對稱軸繞拋物線的頂點D順時針旋轉60°，與直線y=﹣x交于點N．在直線DN上是否存在點M，使∠MON=75°．若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點P、Q分別是拋物線y=ax2+bx+c和直線y=﹣x上的點，當四邊形OBPQ是直角梯形時，求出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意把A（﹣3，0）、B（0，3）、C（1，0）代入y=ax2+bx+c列方程組得：

，解得 ．

∴拋物線的解析式是y=﹣x2﹣2x+3．

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴拋物線的頂點D的坐標為（﹣1，4）

（2）

解：存在．

理由：如圖

方法（一）：

由旋轉得∠EDF=60°，在Rt△DEF中，∵∠EDF=60°，DE=4，

∴EF=DE×tan60°=4 ．∴OF=OE+EF=1+4 ．

∴F點的坐標為（ ，0）．

設過點D、F的直線解析式是y=κx+b，

把D（﹣1，4），F（ ，0）

代入求得 ．

分兩種情況：①當點M在射線ND上時，

∵∠MON=75°，∠BON=45°，

∴∠MOB=∠MON﹣∠BON=30°．∴∠MOC=60°．

∴直線OM的解析式為y= x．

∴點M的坐標為方程組． 的解，解方程組得， ．

∴點M的坐標為（ ， ）．

②當點M在射線NF上時，不存在點M使得∠MON=75°

理由：∵∠MON=75°，∠FON=45°，∴∠FOM=∠MON﹣∠FON=30°．

∵∠DFE=30°，∴∠FOM=∠DFE．∴OM∥FN．∴不存在，

綜上所述，存在點M，且點M的坐標為（ ， ）．

方法（二）①M在射線ND上，過點M作MP⊥x軸于點P，

由旋轉得∠EDF=60°，在Rt△DEF中，∵∠EDF=60°，DE=4

∴EF=DE×tan60°=4 ．∴OF=OE﹢EF=1+4 ．

∵∠MON=75°，∠BON=45°，∴∠MOB=∠MON﹣∠BON=30°．

∴∠MOC=60°．在Rt△MOP中，∴MP= OP．

在Rt△MPF中，∵tan∠MFP= ，

∴ = ．

∴OP=2 ﹢ ．∴MP=6﹢ ．

∴M點坐標為（2 ﹢ 、6﹢ ），

②M在射線NF上，不存在點M使得∠MON=75°

理由：∵∠MON=75°，∠FON=45°，∴∠FOM=∠MON﹣∠FON=30°．

∵∠DFE=30°．∴∠FOM=∠DFE．∴OM∥DN．∴不存在．

綜上所述，存在點M，且點M的坐標為（ ， ）

（3）

解：有兩種情況①直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP=90°．如圖2，

∵∠OBP=∠AOB=90°，∴PB∥OA．

所以點P、B的縱坐標相同都是3．

因為點P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上，

把y=3代入拋物線的解析式中得x1=0（舍去），x2=﹣2．

由PQ∥OB得到點P、Q的橫坐標相同，

都等于﹣2．把x=﹣2代入y=﹣x得y=2．

所以Q點的坐標為（﹣2，2）．

②在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ=90°．

如圖3，

∵D（﹣1，4），B（0，3），∵PB∥OQ，∴DB∥OQ，

點P在拋物線上，∴點P、D重合．

∴∠EDF=∠EFD=45°．∴EF=ED=4．

∴OF=OE+EF=5．

作QH⊥x軸于H，∵∠QOF=∠QFO=45°，

∴OQ=FQ．∴OH= OF= ．

∴Q點的橫坐標﹣ ．∵Q點在y=﹣x上，∴把x=﹣ 代入y=﹣x得y= ．∴Q點的坐標為（﹣ ， ）．

綜上，符合條件的點Q有兩個，坐標分別為：（﹣2，2），（﹣ ， ）

【解析】（1）利用待定系數法將A，B，C三點代入求出a，b，c即可得出解析式；（2）首先求出EF的長進而得出F點的坐標，再分兩種情況：①當點M在射線ND上時，∠MON=75°，②當點M在射線NF上時，不存在點M使得∠MON=75°，分別得出M點的坐標即可；（3）分別根據①直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP=90°，②在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ=90°求出Q點的坐標即可．