Question

【題目】如圖1，已知線段AC∥y軸，點B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y軸與G，連OB、OC．

（1）判斷△AOG的形狀，并予以證明；
（2）若點B、C關于y軸對稱，求證：AO⊥BO；
（3）在（2）的條件下，如圖2，點M為OA上一點，且∠ACM=45°，BM交y軸于P，若點B的坐標為（3，1），求點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：△AOG的形狀是等腰三角形，

理由如下：

∵AC∥y軸，

∴∠CAO=∠GOA，

∵AO平分∠BAC，

∴∠CAO=∠GAO，

∴∠GOA=∠GAO，

∴AG=OG，

∴△AOG是等腰三角形

（2）解：如圖1，接連BC，過O作OE⊥AB于E，過點C作CD⊥x軸于點D，

∵B、C關于y軸對稱，AC∥y軸，

∴AC⊥BC，

在Rt△COD和Rt△BOE中，

，

∴△COD≌△BOE（HL），

∴∠DCO=∠EBO，

∴∠BAC+∠BOC=180°，

設∠BAO=∠CAO=x，∠OBC=∠OCB=y，

∴2x+∠BOC=180°，

又∵2y+∠BOC=180°，

∴x=y，故∠OAC=∠OBC，

∴∠AOB=∠ACB=90°，

∴AO⊥OB

（3）解：如圖2，連BC，作MF⊥x軸于F，BH⊥x軸于H，

則∠ACB=90°，

∵∠ACM=45°，

∴CM平分∠ACB，又AM平分∠BAC，

∴BM平分∠ABC，設∠ABM=∠CBM=z，

由（2）可得∠OMB=x+z，∠OBM=y+z=x+z

∴∠OMB=∠OBM，

∴OM=OB

∴△OBM為等腰直角三角形，

∵ ，

∴△OMF≌△OBH（AAS），

∴OF=BH=1，MF=OH=3，

∴M（﹣1，3）

【解析】（1）△AOG的形狀是等腰三角形，利用已知條件證明AG=OG即可；（2）接連BC，易證△COD≌△BOE（HL），設∠BAO=∠CAO=x，∠OBC=∠OCB=y，利用全等三角形的性質和已知條件證明∠AOB=∠ACB=90°，即可得到AO⊥BO；（3）連BC，作MF⊥x軸于F，BH⊥x軸于H，易證△OMF≌△OBH，OF=BH=1，MF=OH=3，所以M（﹣1，3）．