Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=2∠B，如圖①，當∠C=90°，AD為∠BAC的角平分線時，在AB上截取AE=AC，連接DE，易證AB=AC+CD。

（1）如圖②，當∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數量關系?請寫出你的猜想并證明；

（2）如圖③，當AD為△ABC的外角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數量關系?請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明。

Answer 1

【答案】證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）首先在AB上截取AE=AC，連接DE，易證△ADE≌△ADC（SAS），則可得∠AED=∠C，ED=CD，又由∠AED=∠ACB，∠ACB=2∠B，所以∠AED=2∠B，即∠B=∠BDE，易證DE=CD，則可求得AB=AC+CD；

（2）首先在BA的延長線上截取AE=AC，連接ED，易證△EAD≌△CAD，可得ED=CD，∠AED=∠ACD，又由∠ACB=2∠B，易證DE=EB，則可求得AC+AB=CD．

試題解析：（1）猜想：AB=AC+CD．

證明：如圖②，在AB上截取AE=AC，連接DE，∵AD為∠BAC的角平分線時，∴∠BAD=∠CAD，

∵AD=AD，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴∠AED=∠C，ED=CD，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，

∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠B=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CD，∴AB=AE+DE=AC+CD．

（2）猜想：AB+AC=CD．

證明：在BA的延長線上截取AE=AC，連接ED．∵AD平分∠FAC，∴∠EAD=∠CAD．

在△EAD與△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△EAD≌△CAD（SAS）．

∴ED=CD，∠AED=∠ACD．∴∠FED=∠ACB，又∵∠ACB=2∠B，∴∠FED=2∠B，∠FED=∠B+∠EDB，

∴∠EDB=∠B，∴EB=ED．∴EA+AB=EB=ED=CD．∴AC+AB=CD．