Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中， 為坐標原點，點在反比例函數的圖象上，作軸于點．

（1）的面積為______；

（2）若點的橫坐標為4，點在軸的正半軸，且是等腰三角形，求點的坐標；

（3）動點從原點出發，沿軸的正方向運動，以為直角邊，在的右側作等腰， ；若在點運動過程中，斜邊始終在軸上，求 的值．

Answer 1

【答案】6

【解析】分析: （1）首先過點B作BC⊥x軸于點C，由等腰三角形的三線合一，可得OC=AC=3，然后由頂點B在反比例函數的圖象上，求得點B的坐標；

（2）首先由等腰直角三角形的性質，可得OC=BC，然后由頂點B在反比例函數的圖象上，求得點B的坐標，繼而求得點A的坐標；

（3）首先過點P作PD⊥x軸于點D，易得AD=PD，則可設AD=b，則點P（4+b，b），又由點P在反比例函數的圖象上，求得b的值，繼而求得答案．

詳解:

（1） 6

（2）依題意，得A（4，3），如圖1，過A作AH⊥x軸于H，

∴AH=3，OH=4， ；

要使△OAP是等腰三角形，有如下三種情況：

①當OP=OA時，OP=5

∴點P的坐標為（5，0）

②當AO=AP時，OP=2OH=8

∴點P的坐標為（8，0）

③當PO=PA時，如圖2，設點P的橫坐標為，

則PO=PA= ，PH=

在Rt△AHP中，

∴

解得：

∴點P的坐標為（，0）

綜上所述，點P的坐標為（5，0）或 （8，0） 或（，0）

（3）如圖3，

在等腰Rt△MAN，

∵AH⊥x軸于H

∴MH=AH=HN

∴ ON2－OM2=（ON+OM)(ON-OM)

=[（OH+HN)+(OH-MH)][(OH+HN)-(OH-MH)]

=(2OH)(HN+MH)

=(2OH)(2AH)

=4OH AH

4x12 =48

點睛: 本題考查了反比例函數的應用，現實生活中存在大量成反比例函數的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后利用待定系數法求出它們的關系式．