Question

【題目】如圖1，在ABCD中，E、F兩點分別從A、D兩點出發，以相同的速度在AD、DC邊上勻速運動（E、F兩點不與ABCD的頂點重合），連結BE、BF、EF．

（1）如圖2，當ABCD是矩形，AB=6，AD=8，∠BEF=90°時，求AE的長．

（2）如圖2，當ABCD是菱形，且∠DAB=60°時，試判斷△BEF的形狀，并說明理由；

（3）如圖3，在第（2）題的條件下，設菱形ABCD的邊長為a，AE的長為x，試求△BEF面積y與x的函數關系式，并求出y的最小值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）等邊三角形；（3）

【解析】

試題分析：（1）依據矩形的性質可知∠D=∠A=90°，接下來，依據同角的余角相等可得到∠DFE=∠AEB，然后依據ASAS證明△DEF≌△ABE，依據全等三角形的性質可得到DE=6，從而可求得AE的長；

（2）連結BD．首先證明△ADB為等邊三角形，于是得到BD=BC，然后再證明△BED≌△BFC，△AEB≌△DFB，由全等三角形的性質得到BE=BF，∠ABE=∠DBF，接下來證明∠EBF=60°，從而可判定△EBF為等邊三角形．

（3）過點E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足為M、N，過點B作BG⊥DC，垂足為G．首先依據特殊銳角三角函數值可求得EM=x，NE=（a﹣x），BG=a，然后依據△EFB的面積=菱形的面積﹣△AEB的面積﹣△DFE的面積﹣△FCB的面積列出y與x的函數關系式，最后依據二次函數的性質求解即可．

試題解析：（1）如圖1所示：

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠D=∠A=90°．

∵∠BEF=90°，

∴∠DEF+∠AEB=90°．

又∵∠DEF+∠DFE=90°，

∴∠DFE=∠AEB．

在△DEF和△ABE中，

∴△DEF≌△ABE．

∴AB=DE=6．

∴AE=AD﹣DE=8﹣6=2．

（2）如圖2所示：連結BD．

∵四邊形ABCD為菱形，∠A=60°，

∴AD=AB=DC=BC，∠EDB=60°．

∵∠A=60°，AD=AB，

∴△ADB為等邊三角形．

∴AD=AB=BD．

∴DB=BC．

∵AD=DC，AE=DF，

∴DE=FC．

在△BED和△BFC中，，

∴△BED≌△BFC．

∴BE=BF．

在△AEB和△DFB中，

∴△AEB≌△DFB．

∴∠ABE=∠DBF．

∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠ABE+∠EBD=60°．

∴△EBF為等邊三角形．

（3）如圖3所示：過點E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足為M、N，過點B作BG⊥DC，垂足為G．

∵AE=DF=x，

∴DE=FC=a﹣x．

∵∠A=∠NDE=∠C=60°，

∴EM=x，NE=（a﹣x），BG=a．

∵△EFB的面積=菱形的面積﹣△AEB的面積﹣△DFE的面積﹣△FCB的面積，

∴y=a·a﹣a·x﹣·x·（a﹣x）﹣·（a﹣x）·a．

∴y=x2﹣ax+a2．

∴當x=時，y取得最小值為．