Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx的對稱軸為x=，且經過點A（2，1），點P是拋物線上的動點，P的橫坐標為m（0＜m＜2），過點P作PB⊥x軸，垂足為B，PB交OA于點C，點O關于直線PB的對稱點為D，連接CD，AD，過點A作AE⊥x軸，垂足為E．

（1）求拋物線的解析式;
（2）填空：
①用含m的式子表示點C，D的坐標：
C（　 ，　 　），D（　 ， ）；
②當m=　 　時，△ACD的周長最小；
（3）若△ACD為等腰三角形，求出所有符合條件的點P的坐標.

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）依題意，得，解得

∴y=x2﹣x

（2）m；；2m；0；1
（3）

依題意，得B（m，0）

在RT△OBC中，OC2=OB2+BC2=m2+=m2，

∴OC=m 又∵O，D關于直線PC對稱，

∴CD=OC=m

在RT△AOE中，OA===

∴AC=OA﹣OC=﹣m

在RT△ADE中，AD2=AE2+DE2=12+（2﹣2m）2=4m2﹣8m+5

分三種情況討論：

①若AC=CD，即﹣m=m，解得m=1，∴P（1，）

②若AC=AD，則有AC2=AD2，即5﹣5m+m2=4m2﹣8m+5

解得m1=0，m2=．∵0＜m＜2，∴m=，∴P（，）

③若DA=DC，則有DA2=DC2，即4m2﹣8m+5=m2

解得m1=，m2=2，∵，0＜m＜2，∴m=，∴P（，）

綜上所述，當△ACD為等腰三角形是，點P的坐標分別為P1（1，），P2（，），P3（，）．

【解析】（1）根據拋物線對稱軸公式和代入法可得關于a，b的方程組，解方程組可得拋物線的解析式；
（2）①設OA所在的直線解析式為y=kx，將點A（2，1）代入求得OA所在的解析式為y=x，因為PC⊥x軸，所以C得橫坐標與P的橫坐標相同，為m，令x=m，則y=m，所以得出點C（m，m），又點O、D關于直線PB的對稱，所以由中點坐標公式可得點D的橫坐標為2m，則點D的坐標為（2m，0）；
②因為O與D關于直線PB的對稱，所以PB垂直平分OD，則CO=CD，因為，△ACD的周長=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO，OA===,所以當AD最小時，△ACD的周長最小；根據垂線段最短，可知此時點D與E重合，其橫坐標為2，故m=1．
（3）由中垂線得出CD=OC，再將OC、AC、AD用m表示，然后分情況討論分別得到關于m的方程，解得m，再根據已知條件選取復合體藝的點P坐標即可．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的性質，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．