Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，點O在AC上，以OA為半徑的⊙O交AB于點D，BD的垂直平分線交BC于點E，交BD于點F，連接DE．

（1）求證：直線DE是⊙O的切線；

（2）若AB=5，BC=4，OA=1，求線段DE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）線段DE的長為．

【解析】

（1）連接OD，如圖，根據線段垂直平分線的性質得ED＝EB，則∠EDB＝∠B，再利用等量代換計算出∠ODE＝90°，則OD⊥DE，然后根據切線的判定定理得到結論；

（2）作OH⊥AD于H，則AH＝DH，利用∠A的正弦可計算出OH＝，則AH＝，AD＝2AH＝，所以BF＝，然后利用∠B的余弦計算出EB，從而得到ED的長．

（1）連接OD，如圖，

∵EF垂直平分BD，

∴ED=EB，

∴∠EDB=∠B，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ODA，

∵∠A+∠B=90°，

∴∠ODA+∠EDB=90°，

∴∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴直線DE是⊙O的切線；

（2）作OH⊥AD于H，如圖，則AH=DH，

在Rt△OAB中，sinA==，

在Rt△OAH中，sinA==，

∴OH=，

∴AH==，

∴AD=2AH=，

∴BD=5﹣=，

∴BF=BD=，

在Rt△ABC中，cosB=，

在Rt△BEF中，cosB==，

∴BE=×=，

∴線段DE的長為．