Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直線AC折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連接DE．

（1）求證：△DEC≌△EDA；

（2）求DF的值；

（3）在線段AB上找一點P，連結FP使FP⊥AC，連結PC，試判定四邊形APCF的形狀，并說明理由，直接寫出此時線段PF的大小．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DF=；（3）PF=.

【解析】

試題(1)、根據(jù)矩形的可得AD=BC，AB=CD，根據(jù)折疊圖形可得BC=EC，AE=AB，則可得AD=CE，AE=CD，從而得到三角形全等；(2)、設DF=x，則AF=CF=4－x，根據(jù)Rt△ADF的勾股定理求出x的值；(3)、根據(jù)菱形的性質進行求解.

試題解析：(1)、∵矩形ABCD ∴AD=BC,AB=CD,AB∥CD ∴∠ACD=∠CAB

∵△AEC由△ABC翻折得到 ∴AB="AE,BC=EC," ∠CAE=∠CAB ∴AD=CE，DC=EA，∠ACD=∠CAE，

在△ADE與△CED中∴△DEC≌△EDA（SSS）；

(2)、如圖1，∵∠ACD=∠CAE， ∴AF=CF， 設DF=x，則AF=CF=4﹣x，

在RT△ADF中，AD2+DF2=AF2， 即32+x2=（4﹣x）2， 解得；x=， 即DF=．

(3)、四邊形APCF為菱形 設AC、FP相較于點O ∵FP⊥AC ∴∠AOF=∠AOP

又∵∠CAE=∠CAB， ∴∠APF=∠AFP ∴AF=AP ∴FC=AP

又∵AB∥CD ∴四邊形APCF是平行四邊形 又∵FP⊥AC ∴四邊形APCF為菱形 PF=