Question

【題目】如圖，點C，D是半圓O上的三等分點，直徑AB=4，連接AD，AC，作DE⊥AB，垂足為E，DE交AC于點F．

（1）求證：AF=DF．

（2）求陰影部分的面積（結果保留π和根號）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；

【解析】

（1）連接OD，OC，根據已知條件得到∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，根據圓周角定理得到∠CAD=∠ADE=30°，于是得到結論；
（2）由（1）知，∠AOD=60°，推出△AOD是等邊三角形，OA=2，得到DE= ，根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論

（1）證明：連接OD，OC，

∵C、D是半圓O上的三等分點，

∴==，度數都是60°，

∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，

∴∠DAC=30°，∠CAB=30°，

∵DE⊥AB，

∴∠AEF=90°，

∴∠ADE=180°﹣90°﹣30°﹣30°=30°，

∴∠DAC∠ADE=30°，

∴AF=DF；

（2）解：由（1）知，∠AOD=60°，

∵OA=OD，AB=4，

∴△AOD是等邊三角形，OA=2，

∵DE⊥AO，

∴DE=，

∴S陰影=S扇形AOD﹣S△AOD=．