Question

【題目】請認真閱讀下面的數學小探究系列，完成所提出的問題：

（1）探究1，如圖①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，將邊AB繞點B順時針旋轉90°得到線段BD，連接CD，過點D做BC邊上的高DE，則DE與BC的數量關系是　 　，△BCD的面積為　 　；

（2）探究2，如圖②，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，將邊AB繞點B順時針旋轉90°得到線段BD，連接CD，請用含a的式子表示△BCD的面積，并說明理由；

（3）探究3：如圖③，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，將邊AB繞點B順時針旋轉90°得到線段BD，連接CD，試探究用含a的式子表示△BCD的面積，要有探究過程．

Answer 1

【答案】（1）DE=BC，△BCD的面積為；（2）△BCD的面積為，理由詳見解析；（3）△BCD的面積為，理由詳見解析.

【解析】

（1）如圖1，過點D作BC的垂線，與BC的延長線交于點E，由垂直的性質就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE＝BC＝3．進而由三角形的面積公式得出結論；

（2）如圖2，過點D作BC的垂線，與BC的延長線交于點E，由垂直的性質就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE＝BC＝a．進而由三角形的面積公式得出結論；

（3）如圖3，過點A作AF⊥BC與F，過點D作DE⊥BC的延長線于點E，由等腰三角形的性質可以得出BFBC，由條件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF＝DE，由三角形的面積公式就可以得出結論．

（1）如圖1，過點D作DE⊥CB交CB的延長線于E，∴∠BED＝∠ACB＝90°，由旋轉知：AB＝BD，∠ABD＝90°，∴∠ABC+∠DBE＝90°．

∵∠A+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DBE．

在△ABC和△BDE中，∵，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC＝DE＝3．

∵S△BCDBCDE，∴S△BCD×32=；

（2）△BCD的面積為．理由如下：

如圖2，過點D作BC的垂線，與BC的延長線交于點E，∴∠BED＝∠ACB＝90°．

∵線段AB繞點B順時針旋轉90°得到線段BE，∴AB＝BD，∠ABD＝90°，∴∠ABC+∠DBE＝90°．

∵∠A+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DBE．

在△ABC和△BDE中，∵，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC＝DE＝a．

∵S△BCDBCDE，∴S△BCD；

（3）如圖3，過點A作AF⊥BC與F，過點D作DE⊥BC的延長線于點E，∴∠AFB＝∠E＝90°，BFBCa，∴∠FAB+∠ABF＝90°．

∵∠ABD＝90°，∴∠ABF+∠DBE＝90°，∴∠FAB＝∠EBD．

∵線段BD是由線段AB旋轉得到的，∴AB＝BD．

在△AFB和△BED中，∵，∴△AFB≌△BED（AAS），∴BF＝DEa．

∵S△BCDBCDEaaa2，∴△BCD的面積為．