Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點，點分別在軸和軸的正半軸上，且滿足.

(1)求點、點的坐標；

(2)若點從點出發，以每秒1個單位長度的速度沿射線CB運動，連結AP，設的面積為，點的運動時間為秒，求與的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，是否存在點,使得以點、、為頂點的三角形與相似，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）A的坐標為（1，0），B的坐標為；

（2）當0≤t＜時， ，當t＞時， ；

（3）P的坐標是（-3,0）或（3,2）或（1， ）或（1， ）

【解析】試題分析：（1）根據非負數的性質得到OA、OB的長，即可得到點A、B的坐標；

（2）根據勾股定理得到CB的長度，再根據三角形面積公式即可得到點A到直線CB的距離；再根據△ABP的面積=△ABC的面積-△ACP的面積，即可求出S與t的函數關系式．

（3）先求得∠ABC=90°，然后分兩種情況討論即可求得．

試題解析：（1）∵

∴OB2–3=0且OA–1=0

∴, OA=1

∵點分別在軸和軸的正半軸上

∴A的坐標為（1,0），B的坐標為

(2)∵C的坐標是（-3,0）

∴OC=3，又∵OA=1，OB=

∴BC=2 ，AB=2, AC=4

∴BC2+AB2=AC2 ∴∠ABC=90°

①當0≤t＜時，BP=-t,

②當t＞時，

∴S=

(3)∵∠ABP=∠AOB=90°

∴ΔABP與ΔAOB相似分兩種情況討論：

①當ΔABP∽ΔAOB時， 即, 得

∴P的坐標是（-3,0）或（3,2）

②當ΔABP∽ΔBOA時， 即, 得

過P作PH⊥AC于H,則OB∥PH,易求PH=, OH=1或PH=,OH=1

即P的坐標是（-1， ）或（1， ）

綜上所述：P的坐標是（-3,0）或（3,2）或（1， ）或（1， ）