Question

【題目】已知：如圖，等邊△ABC內接于⊙O，點P是劣弧上的一點（端點除外），延長BP至D，使BD=AP，連接CD．

（1）若AP過圓心O，如圖①，請你判斷△PDC是什么三角形？并說明理由；

（2）若AP不過圓心O，如圖②，△PDC又是什么三角形？為什么？

Answer 1

【答案】（1）△PDC為等邊三角形，理由見解析；

（2）△PDC仍為等邊三角形，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）觀察圖形可得△PDC為等邊三角形，先根據條件證明△APC≌△BDC得出PC=DC，然后根據條件證明∠CPD=60°即可得出結論；（2）利用（1）中方法即可得出結論．

試題解析：（1）如圖①，△PDC為等邊三角形．（2分）

理由如下：

∵△ABC為等邊三角形

∴AC=BC

∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC

又∵AP=BD

∴△APC≌△BDC

∴PC=DC

∵AP過圓心O，AB=AC，∠BAC=60°

∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°

∴∠PBC=∠PAC=30°，∠BCP=∠BAP=30°

∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°

∴△PDC為等邊三角形；（6分）

（2）如圖②，△PDC仍為等邊三角形．（8分）

理由如下：

∵△ABC為等邊三角形

∴AC=BC

∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC

又∵AP=BD

∴△APC≌△BDC

∴PC=DC

∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC

∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°

∴△PDC為等邊三角形．