Question

【題目】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

（1）如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．

小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：

延長AD到E，使得DE=AD，再連接BE（或將△ACD繞點D逆時針旋轉180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．

感悟：解題時，條件中若出現“中點”“中線”字樣，可以考慮構造以中點為對稱中心的中心對稱圖形或全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．

（2）問題解決：

受到（1）的啟發，請你證明下面命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．

①求證：BE+CF＞EF；②若∠A=90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關系，并加以證明；

（3）問題拓展：

如圖3，在四邊形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D為頂點作∠EDF為60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：（2）①首先延長FD到G，使得DG=DF，進而得出CF=BG，DF=DG，以及EF=EG，再利用三角形三邊關系得出答案；

②由①知∠FCD=∠DBG，EF=EG，再利用勾股定理得出答案；

（3）利用全等三角形的判定與性質得出△DEG≌△DEF（SAS），進而得出EF=EG=BE+BG，即EF=BE+CF，進而得出答案．

（2）證明：①如答題圖1，延長FD到G，使得DG=DF，連接BG、EG．

則CF=BG，DF=DG，

∵DE⊥DF，∴EF=EG．

在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．

解：②若∠A=90°，則∠EBC+∠FCB=90°，

由①知∠FCD=∠DBG，EF=EG，

∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，

∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，

∴BE2+CF2=EF2；

（3）解：如答題圖2，將△DCF繞點D逆時針旋轉120°得到△DBG．

∵∠C+∠ABD=180°，∠4=∠C，

∴∠4+∠ABD=180°，

∴點E、B、G在同一直線上．

∵∠3=∠1，∠BDC=120°，∠EDF=60°，

∴∠1+∠2=60°，故∠2+∠3=60°，即∠EDG=60°

∴∠EDF=∠EDG=60°，

在△DEG和△DEF中，

∴△DEG≌△DEF（SAS），

∴EF=EG=BE+BG，即EF=BE+CF．