Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠A=45°．以AB為直徑的⊙O與BC相切于B，交AC于點D，CO的延長線交⊙O于點E，過點作弦EF⊥AB，垂足為點G．

（1）求證：①EF∥CB，②AD=CD；
（2）若AB=10，求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：①連接BD．

∵BC是⊙O的切線，

∴AB⊥BC，

∵EF⊥AB，

∴EF∥AB．

②∵∠ABC=90°，∠A=45°，

∴∠A=∠ACB=45°，

∴BA=BC，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

∴BD⊥AC，

∴AD=DC

（2）解：∵AB=CB=10，

∴OE=OB=5，

在Rt△BOC中，OC= =5 ，

∵EG∥BC，

∴ = ，

∴ = ，

∴EG=2 ，

∵OA⊥EF，

∴EG=GF=2 ，

∴EF=4 ．

【解析】①已知BC是⊙O的切線及EF⊥AB，易證得EF∥AB；’②已知AB是圓的直徑，因此連接BD，證得∠ADB=90°，再證明BA=BC，根據等腰三角形的性質即可得出結論。
（2）在Rt△BOC中利用勾股定理求出OC的長，由EG∥BC，根據平行線分線段成比例定理，得出對應線段成比例，建立方程求出EG的長，再利用垂徑定理即可解決問題。
【考點精析】利用平行線的性質和勾股定理的概念對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．