Question

【題目】若z=3x（3y﹣x）﹣（4x﹣3y）（x+3y）
（1）若x，y均為整數，求證：當x是3的倍數時，z能被9整除；
（2）若y=x+1，求z的最小值．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：
z=3x（3y﹣x）﹣（4x﹣3y）（x+3y）
=9xy﹣3x2﹣（4x2+9xy﹣9y2）
=9xy﹣3x2﹣4x2﹣9xy+9y2
=﹣7x2+9y2
∵x是3的倍數時，
∴z能被9整除．
（2）當y=x+1時，
則z=﹣7x2+9（x+1）2
=2x2+18x+9
=2（x+）2﹣
∵2（x+）2≥0
∴z的最小值是﹣ ．
【解析】（1）首先利用整式的乘法計算方法計算，進一步合并求證得出答案即可；
（2）把y=x+1代入（1）中，整理利用二次函數的性質解決問題．
【考點精析】利用二次函數的最值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．