Question

【題目】已知直線y=﹣x+2分別交x、y軸于點A、B，點C為線段OA的中點，動點P從坐標原點出發，以2個單位長度/秒的速度向終點A運動，動點Q從點C出發，以個單位長度/秒的速度向終點B運動．過點Q作QM∥AB交x軸于點M，動點P、Q同時出發，其中一個點到達終點，另一個點也停止運動，設點P運動的時間為t秒，PM的長為y個單位長度．

（1）∠BCO= °；

（2）求y關于t的函數關系式及自變量t的取值范圍；

（3）是否存在時間t，使得以PC為直徑的⊙D與直線QM相切？若存在，求t的值；不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）y=2﹣t（0≤t≤2）（3）當t=1﹣或t=1+時，以PC為直徑的⊙D與直線QM相切

【解析】

試題分析：（1）先分別求得點A和點B的坐標，從而得到點C的坐標，從而得到OB=OC，于是可求得∠BCO的度數；

（2）先由相似三角形的性質得到CM的長，然后依據PM=CO+CM﹣OP可求得y與t的函數關系式；

（3）當點P在點C的左邊時，可求得DM=1，由tan∠NMD=，可求得DN=，然后可求得DC=1﹣t，從而可求得t的值；當點P在點C的右側時，可求得DC=t﹣1，DN=，從而可求得t的值．

解：（1）∵令y=0得﹣x+2=0，解得：x=4，

∴A（0，4）．

∴OA=4．

∵點C為線段OA的中點，

∴OC=2．

∵令x=0得：y=2，

∴B（0，2）．

∴OB=2．

∴OB=OC．

又∵∠BOC=90°，

∴∠BCO=45°．

故答案為：45．

（2）如圖1所示：

∵OB=CO=2，∠BOC=90°，

∴BC=OB=2．

∵OA=4，OC=2，

∴AC=2．

設點P和點Q的運動時間為t，則OP=2t，QP=t．

∵QM∥AB，

∴，即，解得CM=t．

∴PM=CO+CM﹣OP=2+t﹣2t=2﹣t（0≤t≤2）．

∴y與t的函數關系是為y=2﹣t（0≤t≤2）．

（3）如圖2所示：設N為切線，連接DN．

∵OP=2t，OC=2，

∴PC=2﹣2t．

∴PD=DC=1﹣t．

∴DM=PM﹣PD=2﹣t﹣（1﹣t）=1．

∵MQ是圓D的切線，

∴DN⊥QM．

∵OB=2，OA=4，

∴tan∠BAO=．

∵QM∥AB，

∴tan∠NMP=．

∴DN=DM=．

∴1﹣t=，解得：t=1．

如圖3所示：設N為切線，連接DN．

∵OP=2t，OC=2，

∴PC=2t﹣2．

∴DC=DP=t﹣1．

∴DM=t﹣1+2﹣t=1．

∴DN=．

∴t﹣1=，解得：t=1+．

綜上所述，當t=1﹣或t=1+時，以PC為直徑的⊙D與直線QM相切．