Question

【題目】如圖所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，O為BC中點，如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，設AM長為x，CN的長為y，且x、y滿足等式＝0（a＞0）．

（1）求證：BM＝AN；

（2）請你證明△OMN為等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由等式可得出x=y=a，結合等腰直角三角形的性質，即可證得；
（2）作OE⊥AC，OF⊥AB，通過證明△OFM≌△OEN，可得OM=ON，根據全等三角形的性質，只要證得∠MON=90°，即可證得．

證明：（1）∵x、y滿足等式＝0（a＞0），

∴x＝y＝a，即AM＝CN＝a，

∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，

∴AB＝AC，

∴BM＝AN；

（2）作OE⊥AC，OF⊥AB，

∴∠OFM＝∠ONE＝∠FOE＝90°，

∵點O是BC的中點，

∴OE＝OF＝AB＝AC，AF＝BF，AE＝CE，

∴OF＝OE，AF＝CE，

∴AF﹣AM＝CE﹣CN，

∴MF＝NE，

∴在△OFM和△OEN中 ，

∴△OFM≌△OEN（SAS），

∴OM＝ON，∠MOF＝∠NOE，

∵∠FOM+∠MOE＝90°，

∴∠MOE+∠NOE＝∠MON＝90°，

∴△OMN是等腰直角三角形．