Question

已知二次函數y=（m-1）x²+4x+m²-1的圖象經過原點．
（1）請求出m的值及圖象與x軸的另一交點的坐標；
（2）若把（1）中求得的函數的圖象沿其對稱軸上下平行移動，使頂點移到直線y=

1

2

x上，請求出此時函數的解析式；
（3）若在（1）中求得的函數的圖象上，已知有一點E在x軸上，點F在拋物線上，且點E和點F的橫坐標都為-2，能否在拋物線的對稱軸上找一點P，使得PE+PF最短？若能，請求出這個最短距離；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由二次函數y=（m-1）x²+4x+m²-1的圖象經過原點，即可得m²-1=0，又由m-1≠0，即可求得m的值，求得此二次函數的解析式，繼而求得與x軸的另一交點的坐標；
（2）首先求得（1）中二次函數的頂點坐標，由把（1）中求得的函數的圖象沿其對稱軸上下平行移動，可得橫坐標不變，又由頂點移到直線y=

1

2

x上，即可求得新二次函數的頂點坐標，則可求得此時函數的解析式；
（3）首先求得E與F的坐標，再確定P點的坐標（連接E′F，交拋物線對稱軸x=1于P點，此時即為所求），再利用勾股定理求解即可求得這個最短距離．

解答：解：（1）∵二次函數y=（m-1）x²+4x+m²-1的圖象經過原點．
∴m²-1=0，
解得：m=±1，
∵m-1≠0，
∴m=-1　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3分）
∴此二次函數的解析式的解析式為：y=-2x²+4x，
∵-2x²+4x=0，
解得：x₁=0，x₂=2，
∴圖象與x軸的另一交點的坐標是（2，0）；　　（1分）

（2）∵y=-2x²+4x=-2（x-1）²+2，
∴頂點的橫坐標為1，
∴y=

1

2

x=

1

2

，
∴新函數的頂點坐標為（1，

1

2

），
∴此時函數的解析式為y=-2（x-1）²+

1

2

；　　　（4分）

（3）能在拋物線的對稱軸上找一點P，使得PE+PF最短．
∵點E在x軸上，點F在拋物線上，且點E和點F的橫坐標都為-2，
∴E（-2，0），
當x=-2時，y=-2×（-2）²+4×（-2）=-16，
∴F（-2，-16），
取E關于拋物線對稱軸x=1的對稱點E′（4，0），
連接E′F，交拋物線對稱軸x=1于P點，此時即為所求，
∵PE+PF=PE′+PF=E′F=

EE′2+EF2

=

162+62

=2

73

；
∴最短距離為2

73

（4分）

點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的平移，點與函數的關系以及最短距離問題．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想與方程思想的應用．