Question

【題目】如圖，直線y=2x+2與y軸交于A點，與反比例函數y=（x＞0）的圖象交于點M，過M作MH⊥x軸于點H，且tan∠AHO=2．

（1）求k的值；

（2）點N（a，1）是反比例函數y=（x＞0）圖象上的點，在x軸上是否存在點P，使得PM+PN最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）存在，P點坐標為（，0）．

【解析】

試題分析：（1）根據直線解析式求A點坐標，得OA的長度；根據三角函數定義可求OH的長度，得點M的橫坐標；根據點M在直線上可求點M的坐標．從而可求K的值；（2）根據反比例函數解析式可求N點坐標；作點N關于x軸的對稱點N1，連接MN1與x軸的交點就是滿足條件的P點位置．

試題解析：（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2．∵tan∠AHO=2，∴OH=1．∵MH⊥x軸，∴點M的橫坐標為1．∵點M在直線y=2x+2上，∴點M的縱坐標為4．即M（1，4）．∵點M在y=上，∴k=1×4=4．（2）存在．過點N作N關于x軸的對稱點N1，連接MN1，交x軸于P（如圖所示）．此時PM+PN最小．∵點N（a，1）在反比例函數y=（x＞0）上，∴a=4．即點N的坐標為（4，1）．∵N與N1關于x軸的對稱，N點坐標為（4，1），∴N1的坐標為（4，﹣1）．設直線MN1的解析式為y=kx+b．由解得k=﹣，b=．∴直線MN1的解析式為y=﹣x+．令y=0，得x=．∴P點坐標為（，0）．