Question

【題目】 閱讀材料：如圖①，△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=900，且點D 在AB邊上，AB、EF的中點均為O,連結BF、CD、CO，顯然點C、F、O在同一條直線上，可以證明△BOF≌△COD，則BF=CD。

解決問題：

（1）將圖①中的Rt△DEF繞點O旋轉得到圖②，猜想此時線段BF與CD的數量關系，并證明你的結論；

（2）如圖③，若△ABC與△DEF都是等邊三角形，AB、EF的中點均為O,上述（1）中結論仍然成立嗎？如果成立，請說明理由；如果不成立，請求出BF與CD之間的數量關系；

（3）如圖④，若△ABC與△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中點均為O,且頂角∠ACB=∠EDF=α，請直接寫出的值（用含α的式子表示出來）。

Answer 1

【答案】（1）根據等腰直角三角形和旋轉的性質，由SAS證出△BOF≌△COD，即可得出結論。

（2）不成立。根據等邊三角形和旋轉的性質，證出△BOF∽△COD，即可得出結論。

（3）。

【解析】

（1）根據等腰直角三角形和旋轉的性質，由SAS證出△BOF≌△COD，即可得出結論。

（2）根據等邊三角形和旋轉的性質，證出△BOF∽△COD，即可得出結論。

（3）如圖，連接CO、DO，仿（2）可證△BOF∽△COD，從而。

由點O是AB的中點，可得CO⊥AB，

∴。∴。

解：（1）相等。證明如下：

如圖，連接CO、DO，

∵△ABC是等腰直角三角形，點O是AB的中點，

∴BO=CO，CO⊥AB。∴∠BOC=900。

同理，FO=DO，∠DOF=900。

∴∠BOF=900＋∠COF，∠COD=900＋∠COF。

∴∠BOF=∠COD。∴△BOF≌△COD（SAS）。

∴BF=CD。

（2）不成立。

如圖，連接CO、DO，

∵△ABC是等邊三角形，∴∠CBO=600。

∵點O是AB的中點，∴CO⊥AB，即∠BOC=900。

∴在Rt△BOC中，。

同理，∠DOF=900，。∴。

又∵∠BOF=900＋∠COF，∠COD=900＋∠COF。

∴∠BOF=∠COD。∴△BOF∽△COD。∴。

∴。

（3）。