Question

【題目】如圖1，ABCD 中，∠ABC、∠ADC的平分線分別交AD、BC于點E、F．

（1）求證：四邊形EBFD是平行四邊形；

（2）小明在完成（1）的證明后繼續進行了探索．連接AF、CE，分別交BE、FD于點G、H，得到四邊形EGFH．此時，他猜想四邊形EGFH是平行四邊形，請在框圖（圖2）中補全他的證明思路．

Answer 1

【答案】（1）四邊形EBFD是平行四邊形．

（2）GF∥EH，AE∥CF；

【解析】

試題分析：（1）由平行四邊形的性質得出AD∥BC，∠ABC=∠ADC．AD=BC，由角平分線得出∠ABE=∠EBC=∠ADF=∠CDF．證出EB∥DF，即可得出結論；

（2）由平行四邊形的性質得出BE∥DF，DE=BF，得出AE=CF，證出四邊形AFCE是平行四邊形，得出GF∥EH，即可證出四邊形EGFH是平行四邊形．

試題解析：（1）證明：在ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC．AD=BC，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBC=∠ABC．

∵DF平分∠ADC，

∴∠ADF=∠CDF=∠ADC．

∵∠ABC=∠ADC．

∴∠ABE=∠EBC=∠ADF=∠CDF．

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBC．

∴∠AEB=∠ADF．

∴EB∥DF．

∵ED∥BF，

∴四邊形EBFD是平行四邊形．

（2）補全思路：GF∥EH，AE∥CF；理由如下：

∵四邊形EBFD是平行四邊形；

∴BE∥DF，DE=BF，

∴AE=CF，

又∵AE∥CF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

∴GF∥EH，

∴四邊形EGFH是平行四邊形．