Question

【題目】如圖，△ABC為等邊三角形，D、E分別是AC、BC上的點，且AD＝CE，AE與BD相交于點P，BF⊥AE于點F．若PF＝4，PD＝1，則AE的長為_____．

Answer 1

【答案】9．

【解析】

根據等邊三角形的性質可得AC=BC，∠BAD=∠C=60°，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△CAE全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ABD=∠CAE，然后求出∠BPF=∠BAC=60°，再根據直角三角形兩銳角互余求出∠PBF=30°，然后根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答．

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC．

∴∠BAC＝∠C．

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（SAS）．

∴∠ABD＝∠CAE，BD＝AE，

∴∠APD＝∠ABP+∠PAB＝∠BAC＝60°．

∴∠BPF＝∠APD＝60°．

∵∠BFP＝90°，∠BPF＝60°，

∴∠PBF＝30°．

∴BP＝2PF＝8，

∵PD＝1，

∴BD＝BP+PD＝9，

∴AE＝BD＝9．

故答案為9．