Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上一點，點F在射線CM上，∠AEF=90°，AE=EF，過點F作射線BC的垂線，垂足為H，連接AC．
（1）試判斷BE與FH的數量關系，并說明理由；
（2）求證：∠ACF=90°；
（3）連接AF，過A、E、F三點作圓，如圖2，若EC=4，∠CEF=15°，求 的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：BE=FH．

證明：∵∠AEF=90°，∠ABC=90°，

∴∠HEF+∠AEB=90°，∠BAE+∠AEB=90°，

∴∠HEF=∠BAE，

在△ABE和△EHF中，

，

∴△ABE≌△EHF（AAS）

∴BE=FH

（2）解：由（1）得BE=FH，AB=EH，

∵BC=AB，

∴BE=CH，

∴CH=FH，

∴∠HCF=45°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ACB=45°，

∴∠ACF=180°﹣∠HCF﹣∠ACB=90°

（3）解：由（2）知∠HCF=45°，∴CF= FH．

∠CME=∠HCF﹣∠CEF=45°﹣15°=30°．

如圖2，過點C作CP⊥EF于P，則CP= CF= FH．

∵∠CEP=∠FEH，∠CPE=∠FHE=90°，

∴△CPE∽△FHE．

∴ ，即 ，

∴EF=4 ．

∵△AEF為等腰直角三角形，∴AF=8．

取AF中點O，連接OE，則OE=OA=4，∠AOE=90°，

∴ 的弧長為： =2π．

【解析】（1）利用ABE≌△EHF求證BE=FH，（2）由BE=FH，AB=EH，推出CH=FH，得到∠HCF=45°，由四邊形ABCD是正方形，所以∠ACB=45°，得出∠ACF=90°，（3）作CP⊥EF于P，利用相似三角形△CPE∽△FHE，求出EF，利用公式求出 的長．