Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，將點P沿著y軸翻折，得到的對應點再沿著直線l翻折得到點P1，則P1稱為點P的“l變換點”．

（1）已知：點P（1，0），直線l：x＝2，求點P的“l變換點”的坐標；

（2）若點Q和它的“l變換點”Q1的坐標分別為（2，1）和（3，2），求直線l的解析式；

（3）如圖，⊙O的半徑為2．

①若⊙O上存在點M，點M的“l變換點”M1在射線x（x≥0）上，直線l：x＝b，求b的取值范圍；

②將⊙O在x軸上移動得到⊙E，若⊙E上存在點N，使得點N的“l變換點”N1在y軸上，且直線l的解析式為y＝x+1，求E點橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（5，0）；（2）y＝﹣5x+4；（3）①﹣1≤b≤2；②﹣4≤t≤+4．

【解析】

（1）根據“l變換點”的定義，分別畫出圖形，即可解決問題；

（2）根據“l變換點”的定義，得到對稱點的坐標，根據待定系數法即可得到結論；

（3）①根據“l變換點”的定義，畫出圖形，求出b的最大值以及最小值即可解決問題；

②如圖6中，設點E關于y軸的對稱點為E1，E1關于直線y=x+1的對稱點為E′，易知當點N在⊙E上運動時，點N′在⊙E′上運動，由此可見當⊙E′與y軸相切或相交時滿足條件，想辦法求出點E′的坐標即可解決問題．

解：（1）如圖1，點P（1，0）關于y軸的對稱點（﹣1，0），再關于直線x＝2的對稱點P1（5，0）；

（2）點Q(2，1)關于y軸的對稱點(﹣2，1)，

設過點(﹣2，1)和(3，2)的直線的解析式為y=kx+b，

，

解得

k=﹣，b=，

∴y＝﹣x+，

∵點(﹣2，1)和(3，2)關于直線l對稱，

∴直線l過點(﹣2，1)和(3，2)連線的中點且與直線y＝x+垂直，

∵點(﹣2，1)和(3，2)連線的中點為(，)，

∴設直線l的解析式為y＝﹣5x+n，

∴＝﹣5×+n，

解得：n＝4，

∴直線l的解析式為：y＝﹣5x+4；

（3）①如圖4中，

由題意b＝M1M′，由此可知，當M1M′的值最大時，可得b的最大值，

∵直線OM′的解析式為y＝x，

∴tan∠M′OD＝，

∴∠MM′O＝∠M′OD＝30°，

∵OM＝2，易知，OM⊥OM′時，MM′的值最大，最大值為4，

∴b的最大值為2，

如圖5中，易知當點M在x軸的正半軸上時，可得b的最小值，最小值為﹣1，

綜上所述，滿足條件的b取值范圍為﹣1≤b≤2；

②設E（t，0），如圖6中，設點E關于y軸的對稱點為E1，E1關于直線y＝x+1的對稱點為E′，易知當點N在⊙E上運動時，點N′在⊙E′上運動，由此可見當⊙E′與y軸相切或相交時滿足條件．

連接E1E′交直線y＝x+1于K，易知直線E1E′的解析式為y＝﹣x﹣，

由，解得，

∴K(，)，

∵KE1＝KE′，

∴E′(，)，

當⊙E′與y軸相切時，||＝2，解得t＝﹣4或+4，

綜上所述，滿足條件的t的取值范圍為﹣4≤t≤+4．