Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，點C為半徑OA的中點，過點C作CD⊥OA交弦AB于點E，連接BD，且DE=DB．

（1）判斷BD與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若CD=15，BE=10，tanA=，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）BD是⊙O的切線，理由見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）連接OB，由已知條件易證∠OBD=90°，即可證明BD是⊙O的切線；（2）過點D作DG⊥BE于G，根據等腰三角形的性質得到EG=BE=5，由兩角相等的三角形相似，△ACE∽△DGE，利用相似三角形對應角相等得到sin∠EDG=sinA=，在Rt△EDG中，利用勾股定理求出DG的長，根據三角形相似得到比例式，代入數據即可得到結果．

試題解析：（1）證明：連接OB，

∵OB=OA，DE=DB，

∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠ABD，

又∵CD⊥OA，

∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°，

∴∠OBA+∠ABD=90°，

∴OB⊥BD，

∴BD是⊙O的切線；

（2）如圖，過點D作DG⊥BE于G，

∵DE=DB，

∴EG=BE=5，

∵∠ACE=∠DGE=90°，∠AEC=∠GED，

∴∠GDE=∠A，

∴△ACE∽△DGE，

∴sin∠EDG=sinA==，即CE=13，

在Rt△ECG中，

∵DG==12，

∵CD=15，DE=13，

∴DE=2，

∵△ACE∽△DGE，

∴=，

∴AC=DG=，

∴⊙O的直徑2OA=4AD=．