Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB=12，點E在邊BC上，BE=EC，將△DCE沿DE對折至△DFE，延長EF交邊AB于點G，連接DG、BF，給出下列結論：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF=.其中正確結論的個數是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據正方形的性質和折疊的性質可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根據“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE為直角三角形，可通過勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，進而求出△BEF的面積，再由△BEF是等腰三角形，而△GED顯然不是等腰三角形，判斷③是錯誤的，即可得答案．

如圖，由折疊可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，

∴∠DFG=∠A=90°，

在Rt△ADG和Rt△FDG中，

，

∴Rt△ADG≌Rt△FDG，故①正確；

∵正方形邊長是12，

∴BE=EC=EF=6，

設AG=FG=x，則EG=x+6，BG=12﹣x，

由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，

即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，

解得：x=4

∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，故②正確；

BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，故③錯誤；

∵S△GBE=×6×8=24，S△BEF：S△BGE=EF：EG，

∴S△BEF=×24=，

故④正確．

綜上可知正確的結論是3個．

故選C．