Question

【題目】在平面直角坐標系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2），點C（﹣1，0），如圖所示：拋物線y=ax2+ax﹣2經過點B．

（1）求點B的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點B作BD⊥x軸，垂足為D，

∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，

∴∠BCD=∠CAO，

又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，

∴△BCD≌△CAO，

∴BD=OC=1，CD=OA=2，

∴點B的坐標為（﹣3，1）

（2）

解：拋物線y=ax2+ax﹣2經過點B（﹣3，1），

則得到1=9a﹣3a﹣2，

解得a= ，

所以拋物線的解析式為y= x2+ x﹣2

（3）

解：假設存在點P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：

①若以點C為直角頂點；

則延長BC至點P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，

過點P1作P1M⊥x軸，

∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，

∴△MP1C≌△DBC．

∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得點P1（1，﹣1）；

②若以點A為直角頂點；

則過點A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，

過點P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO，

∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得點P2（2，1），

③以A為直角頂點的等腰Rt△ACP的頂點P有兩種情況．即過點A作直線L⊥AC，在直線L上截取AP=AC時，點P可能在y軸右側，即現(xiàn)在解答情況②的點P2；

點P也可能在y軸左側，即還有第③種情況的點P3．因此，然后過P3作P3G⊥y軸于G，同理：△AGP3≌△CAO，

∴GP3=OA=2，AG=OC=1，

∴P3為（﹣2，3）；

經檢驗，點P1（1，﹣1）與點P2（2，1）都在拋物線y= x2+ x﹣2上，點P3（﹣2，3）不在拋物線上．

【解析】（1）根據題意，過點B作BD⊥x軸，垂足為D；根據角的互余的關系，易得B到x、y軸的距離，即B的坐標；（2）根據拋物線過B點的坐標，可得a的值，進而可得其解析式；（3）首先假設存在，分A、C是直角頂點兩種情況討論，根據全等三角形的性質，可得答案．
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．