Question

如圖，將邊長為2的正方形紙片ABCD折疊，使點B落在CD上，落點記為E（不與點C，D重合），點A落在點F處，折痕MN交AD于點M，交BC于點N．若

CE

CD

=

1

2

，則BN的長是______，

AM

BN

的值等于______；若

CE

CD

=

1

n

（n≥2，且n為整數），則

AM

BN

的值等于______（用含n的式子表示）．

Answer 1

∵沿MN折疊B和E重合，
∴BN=NE，
∵

CE

CD

=

1

2

，CD=2，
∴CE=1，
設BN=NE=x
在Rt△CEN中，由勾股定理得：NE²=CE²+CN²，
x²=1²+（2-x）²
x=

5

4

，
BN=NE=

5

4

．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°，
∴∠QEN=∠B=90°，
∴∠DQE+∠DEQ=∠CEN+∠DEQ=90°，
∴∠DQE=∠CEN，
∵∠D=∠C=90°，
∴△DQE∽△CEN，
∴

CE

DQ

=

EN

QE

=

CN

DE

，
∴

1

DQ

=

5 4

EQ

=

2- 5 4

2-1

，
DQ=

4

3

，EQ=

5

3

，
∵折疊A和F重合，B和E重合，
∴∠F=∠A=90°，EF=AB=2，AM=MF，
在Rt△MFQ中，由勾股定理得：MQ²=MF²+FQ²，
（2-

4

3

-AM）²=AM²+（2-

5

3

）²，
AM=

1

4

．

∵沿MN折疊B和E重合，
∴BN=NE，
∵

CE

CD

=

1

n

，CD=2，
∴CE=

2

n

，
設BN=NE=x
在Rt△CEN中，由勾股定理得：NE²=CE²+CN²，
x²=（

2

n

）²+（2-x）²
x=

1+n2

n2

，
BN=NE=

1+n2

n2

．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°，
∴∠QEN=∠B=90°，
∴∠DQE+∠DEQ=∠CEN+∠DEQ=90°，
∴∠DQE=∠CEN，
∵∠D=∠C=90°，
∴△DQE∽△CEN，
∴

CE

DQ

=

EN

QE

=

CN

DE

，
∴

2 n

DQ

=

1+n2 n2

EQ

=

2- 1+n2 n2

2- 2 n

，
DQ=

4

n+1

，EQ=

2+2n2

n2+n

，
∵折疊A和F重合，B和E重合，
∴∠F=∠A=90°，EF=AB=2，AM=MF，
在Rt△MFQ中，由勾股定理得：MQ²=MF²+FQ²，
（2-

4

n+1

-AM）²=AM²+（2-

2+2n2

n2+n

）²，
AM=

(n-1)2

n2

，
∴

AM

BN

=

(n-1)2

n2+1

，
故答案為：

5

4

，

1

5

，

(n-1)2

n2+1

．