Question

【題目】拋物線與軸相交于O、A兩點（其中O為坐標原點），過點P（2，2a）作直線PM⊥x軸于點M，交拋物線于點B，點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C（其中B、C不重合），連接AP交y軸于點N，連接BC和PC．

（1）時，求拋物線的解析式和BC的長；

（2）如圖時，若AP⊥PC，求的值；

（3）是否存在實數，使，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），BC=2；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由拋物線與軸相交于O、A兩點（其中O為坐標原點），得到b=0，故拋物線為，把代入，得到P（2，3）和，由對稱軸x=2，即可得到BC的長；

（2）把x=2代入，得到B（2，），設C（x， ），由對稱軸，得到C（， ），由，得到A（4a，0），由AP⊥PC，得到，即，解方程即可得到結論；

（3）由OA=4a， OM=2，得到AM=4a-2，由PM∥ON ，得到， 即，解方程即可得到結論．

試題解析：（1）∵拋物線與軸相交于O、A兩點（其中O為坐標原點），∴b=0，∴，當時，P（2，3），，∴=，∴對稱軸為：x=2，∴BC=2×（3-2）=2；

（2）當x=2時，=，∴B（2，），設C（x， ），∵對稱軸，∴，∴，∴C（， ），∵，∴A（4a，0），∵AP⊥PC，∴，∴，整理得：，解得：，∵，∴；

（3）∵A（4a，0），∴OA=4a，∵P（2，2a），∴OM=2，∴AM=4a-2，∵PM∥ON，∴， ∴，解得：．