Question

【題目】已知，點P是Rt△ABC斜邊AB上一動點（不與A、B重合），分別過A、B向直線CP作垂線，垂足分別為E、F、Q為斜邊AB的中點．
（1）如圖1，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系，QE與QF的數量關系.
（2）如圖2，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數量關系，并給予證明；
（3）如圖3，當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結論是否成立？請畫出圖形并給予證明．

Answer 1

【答案】解：（1）如圖1，

當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是AE∥BF，QE與QF的數量關系是AE=BF，
理由是：∵Q為AB的中點，
∴AQ=BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，
在△AEQ和△BFQ中

∴△AEQ≌△BFQ，
∴QE=QF，
故答案為：AE∥BF，QE=QF；
（2）

QE=QF，
證明：延長EQ交BF于D，
∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中

∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF；，
（3）當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結論成立，
證明：延長EQ交FB于D，如圖3，

∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中

∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF．
【解析】（1）根據AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；
（2）延長EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根據全等三角形的性質得出EQ=QD，根據直角三角形斜邊上中點性質得出即可；
（3）延長EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根據全等三角形的性質得出EQ=QD，根據直角三角形斜邊上中點性質得出即可．