Question

【題目】如圖，點C是⊙O的直徑AB延長線上一點，過⊙O上一點D作DF⊥AB于F，交⊙O于點E，點M是BE的中點，AB＝4，∠E＝∠C＝30°．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）求DM的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OD，由圓周角定理得出∠DOC＝2∠E＝60°，∠ODC＝180°﹣（∠DOC+∠C）＝90°，即可得出結論；

（2）連接OE、OM，證明∠DOC＝∠COE＝60°，由OB＝OE，點M是BE的中點，得出∠BOM＝∠COE＝30°，OM⊥BE，則∠DOM＝∠DOC+∠BOM＝90°，OM＝OBcos∠BOM＝，由勾股定理得DM＝=．

（1）證明：連接OD，如圖1所示：

∵∠E＝30°，

∴∠DOC＝2∠E＝60°，

∴∠DOC+∠C＝60°+30°＝90°，

∴∠ODC＝180°﹣（∠DOC+∠C）＝180°﹣90°＝90°，即OD⊥CD，

∵OD是⊙O的半徑，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：連接OE、OM，如圖2所示：

∵⊙O的直徑AB，AB＝4，

∴OB＝OD＝2，

∵OD＝OE，DF⊥AB，

∴∠DOC＝∠COE＝60°，

∵OB＝OE，點M是BE的中點，

∴∠BOM＝∠COE＝30°，OM⊥BE，

∴∠DOM＝∠DOC+∠BOM＝60°+30°＝90°，

∵在Rt△OMB中，∠OMB＝90°，

∴OM＝OBcos∠BOM＝2cos30°＝2×＝，

由勾股定理得：DM＝==．