Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD⊥AB，垂足為E，且PC2=PEPO．

（1）求證：PC是⊙O的切線．
（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結OC，如圖，

∵CD⊥AB，

∴∠PEC=90°，

∵PC2=PEPO，

∴PC：PO=PE：PC，

而∠CPE=∠OPC，

∴△PCE∽△POC，

∴∠PEC=∠PCO=90°，

∴OC⊥PC，

∴PC是⊙O的切線

（2）解：設OE=x，則EA=2x，OA=OC=3x，

∵∠COE=∠POC，∠OEC=∠OCP，

∴△OCE∽△OPC，

∴OC：OP=OE：OC，即3x：OP=x：3x，解得OP=9x，

∴3x+6=9x，解得x=1，

∴OC=3，

即⊙O的半徑為3．

【解析】本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用．也考查了切線的判定方法．（1）連結OC，如圖，由PC2=PEPO和公共角可判斷△PCE∽△POC，則∠PEC=∠PCO=90°，然后根據切線的判定定理可判斷PC是⊙O的切線；（2）設OE=x，則EA=2x，OA=OC=3x，證明△OCE∽△OPC，利用相似比可表示出OP，則可列方程3x+6=9x，然后解出x即可得到⊙O的半徑．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用垂徑定理和切線的判定定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．