Question

【題目】如圖， 的平分線交的外接圓于點， 的平分線交于點．

（1）求證： ；

（2）若， ，求外接圓的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：

（1）由AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，可得∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠EBC，結合∠CBD=∠CAD，可得∠CBD=∠BAD；由此結合三角形外角的性質可證得：∠BED=∠EBD，從而可得DE=DB；

（2）連接CD，由∠BAC=90°可得∠BDC=90°；由∠BAD=∠CAD，可得CD=BD=5，從而可得△BDC是等腰直角三角形，再由勾股定理可求得BC的長，從而可得△ABC外接圓的半徑.

試題解析：

（1）∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，

∵∠DBC=∠CAD，

∴∠DBC=∠BAE，

∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，

∴∠DBE=∠DEB，

∴DE=DB；

（2）連接CD，如圖所示：

由（1）可知：∠BAD=∠CAD，

∴CD=BD=5，

∵∠BAC=90°，

∴BC是直徑，

∴∠BDC=90°，

∴BC=，

∴△ABC外接圓的半徑.