Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A(-4,0)、B(6,0）兩點，與y軸交于點C．

(1)如圖l，求拋物線的解析式；

(2)如圖2，點P為第一象限拋物線上一點，連接PC、PA，PA交y軸于點F，設點P的橫坐標為t，△CPF的面積為S．求S與t的函數關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

(3)如圖3，在(2)的條件下，連接BC，過點P作PD//y軸變BC于點D，點H為AF中點，且點N(0，1)，連接NH、BH，將∠NHB繞點H逆時針旋轉，使角的一條邊H落在射線HF上,另一條邊HN變拋物線于點Q，當BH=BD時，求點Q坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為；

（2）S與t的函數關系式為；

（3）點Q坐標為（4，8）.

【解析】試題分析：（1）直接用代入法求函數的解析式；（2）過點P作PR⊥y軸，交y軸于點R，過點P作PL⊥AB于點L，則點P(t, )，在Rt△PAL中，因為PL=AL= ，所以tan∠PAL=在Rt△FAO中，所以tan∠FAO= , 所以OF=12-2t，所以CF=CO- OF=12-（12-2t）=2t，所以 ；（3）延長PD交x軸于點L，取OA的中點K，連接HK,過點H作HG⊥y軸于點G，OF＝12-2t點H為AF的中點 HK ⊥OA ，所以HK=6-t=BL，因為HK=BL BH=BD ，所以△BHK≌△DBL ，所以BK=DL=8，直線BC的解析式為∴點D，DL=12-2t =8 t=2 ，所以點P（2，12），則點H（-2，4），tan∠AHK=tan∠HBK=，所以∠AHK=∠HBK ，∴∠AHB=90°，又因為∠NHB=∠PHQ ，所以∠NHQ=90°，過點Q作QM⊥HG于點M，所以∠HNG=∠QHM ，又因為點N（0，1），HG=2，所以GN=3，tan∠HNG=tan∠QHM =， ，設點Q(,) ，則QM=-4= ，所以HM= +2 ，所以 ，解得： ，所以 ∴點Q（4，8）；

試題解析：

（1）解∵拋物線過點A（-4，0），B（6，0）

解得

∴拋物線解析式為

（2）過點P作PR⊥y軸，交y軸于點R，過點P作PL⊥AB于點L，如圖所示：

則點P(t, )，在Rt△PAL中

∵PL=AL=

∴tan∠PAL=

在Rt△FAO中，

∴tan∠FAO= ,

∴OF=12-2t

∴CF=CO- OF=12-（12-2t）=2t

∴

（3）延長PD交x軸于點L，取OA的中點K，連接HK,過點H作HG⊥y軸于點G，如圖所示：

OF＝12-2t點H為AF的中點 HK ⊥OA

∴HK=6-t=BL

∵HK=BL BH=BD

∴△BHK≌△DBL

∴BK=DL=8

直線BC的解析式為　　

∴點D

DL=12-2t =8 t=2

∴點P（2，12）

∴點H（-2，4）

tan∠AHK=tan∠HBK=

∴∠AHK=∠HBK

∴∠AHB=90°

∵∠NHB=∠PHQ

∴∠NHQ=90°，

過點Q作QM⊥HG于點M，

∴∠HNG=∠QHM

∵點N（0，1），HG=2，

∴GN=3，tan∠HNG=tan∠QHM =，

設點Q(,)

QM=-4=

HM= +2

，

∴點Q（4，8）