Question

【題目】（2016黑龍江省哈爾濱市）已知：△ABC內接于⊙O，D是上一點，OD⊥BC，垂足為H．

（1）如圖1，當圓心O在AB邊上時，求證：AC=2OH；

（2）如圖2，當圓心O在△ABC外部時，連接AD、CD，AD與BC交于點P，求證：∠ACD=∠APB；

（3）在（2）的條件下，如圖3，連接BD，E為⊙O上一點，連接DE交BC于點Q、交AB于點N，連接OE，BF為⊙O的弦，BF⊥OE于點R交DE于點G，若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，AC=，BN=，tan∠ABC=，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）24．

【解析】試題分析：（1）OD⊥BC可知點H是BC的中點，又中位線的性質可得AC=2OH；

（2）由垂徑定理可知：，所以∠BAD=∠CAD，由因為∠ABC=∠ADC，所以∠ACD=∠APB；

（3）由∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN可知∠AND=90°，由tan∠ABC=可知NQ和BQ的長度，再由BF⊥OE和OD⊥BC可知∠GBN=∠ABC，所以BG=BQ，連接AO并延長交⊙O于點I，連接IC后利用圓周角定理可求得IC和AI的長度，設QH=x，利用勾股定理可求出QH和HD的長度，利用垂徑定理可求得ED的長度，最后利用tan∠OED=即可求得RG的長度，最后由垂徑定理可求得BF的長度．

試題解析：（1）∵OD⊥BC，∴由垂徑定理可知：點H是BC的中點，∵點O是AB的中點，∴OH是△ABC的中位線，∴AC=2OH；

（2）∵OD⊥BC，∴由垂徑定理可知：，∴∠BAD=∠CAD，∵，∴∠ABC=∠ADC，∴180°﹣∠BAD﹣∠ABC=180°﹣∠CAD﹣∠ADC，∴∠ACD=∠APB，（3）連接AO延長交于⊙O于點I，連接IC，AB與OD相交于點M，∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN，∵∠ABD+∠BDN=∠AND，∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND，∵∠ACD+∠ABD=180°，∴∠ABD+∠BDN=180°﹣∠AND，∴∠AND=180°﹣∠AND，∴∠AND=90°，∵tan∠ABC=，BN=，∴NQ=，∴由勾股定理可求得：BQ=，∵∠BNQ=∠QHD=90°，∴∠ABC=∠QDH，∵OE=OD，∴∠OED=∠QDH，∵∠ERG=90°，∴∠OED=∠GBN，∴∠GBN=∠ABC，∵AB⊥ED，∴BG=BQ=，GN=NQ=，∵AI是⊙O直徑，∴∠ACI=90°，∵tan∠AIC=tan∠ABC=，∴=，∴IC=，∴由勾股定理可求得：AI=25，連接OB，設QH=x，∵tan∠ABC=tan∠ODE=，∴=，∴HD=2x，∴OH=OD﹣HD=﹣2x，BH=BQ+QH=+x，由勾股定理可得：，∴，解得：x=或x=．

①當QH=時，∴QD=QH=，∴ND=QD+NQ=，∴MN=，MD=15．∵MD＞，∴QH=不符合題意，舍去；

②當QH=時，∴QD=QH=，∴ND=NQ+QD=，由垂徑定理可求得：ED=，∴GD=GN+ND=，∴EG=ED﹣GD=，∵tan∠OED=，∴=，∴EG=RG，∴RG=，∴BR=RG+BG=12，∴由垂徑定理可知：BF=2BR=24．