Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD、CF分別是∠BAC、∠ACB的角平分線，且AD、CF交于點I， IE⊥B于E，下列結論：①∠BIE＝∠CID；②S△ABC＝IE(AB＋BC＋AC)；③BE=(AB＋BC－AC)；④AC＝AF＋DC.其中正確的結論是_______________ （填序號）

Answer 1

【答案】①②③．

【解析】

如圖，作IM⊥AB于M，IN⊥AC于N．根據角平分線的性質定理以及全等三角形的判定和性質一一判斷即可；

如圖，作IM⊥AB于M，IN⊥AC于N．

∵AD、CF分別是∠BAC、∠ACB的角平分線，IM⊥AB，IN⊥AC，IE⊥BC，
∴IE=IM=IN，
∴S△ABC=S△ABI+S△ACI+S△BCI=ABIM+ACIN+BCIE=IE（AB+BC+AC），故②正確，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠IBE=∠ABC，∠IAC=∠BAC，∠ICA=∠ACB，
∴∠IBE+∠IAC+∠ICA=90°，
∵∠CID=∠IAC+∠ICA=90°-∠IBE=∠BIE，故①正確，
∵BI=BI，IM=IE，
∴Rt△BIM≌Rt△BIE（HL），
∴BE=BM，同法可證：AM=AN，CN=CE，
∴BE=（AB+BC-AC），故③正確，
④只有在∠ABC=60°的條件下，AC=AF+DC，故④錯誤，
故答案為：①②③．